 | 実用的(?)な回答とは言えないですが、数学的には以下のように解くことができます。
tan(3θ)を三角関数の加法定理を使用して、tan(θ)の式で表します。
そして、x = tan(θ)とおいて、tan(3θ) = 1/2を整理すると、
2x^3-3x^2-6x+1 = 0或いは(2x-1)^3-15(2x-1)-10 = 0となります。
この3次方程式をカルダーノの公式で解くと、iを虚数単位、ωを1の原始3乗根(-1+i√3)/2として、
{(5+10i)^(1/3)}{(5-10i)^(1/3)} = 5という条件のもとで、
(5+10i)^(1/3)と(5-10i)^(1/3)の値を固定すると、xの値は以下の3通りです。
(1/2){1+{(5+10i)^(1/3)}+{(5-10i)^(1/3)}}
(1/2){1+ω{(5+10i)^(1/3)}+(ω^2){(5-10i)^(1/3)}}
(1/2){1+(ω^2){(5+10i)^(1/3)}+ω{(5-10i)^(1/3)}}
上記を実数のみの根号で表現できないかこねくり回してみたのですが、挫折しました。
0 < θ < π/4ですから、0 < tan(θ) < 1です。
(2x-1)^3-15(2x-1)-10 = 0は3個の実数解を持ちますが、その内0 < x < 1となるものは1つです。
# 他の2解はtan(θ+π/3)とtan(θ+2π/3)と思われます。
近似値であれば、前述の3次方程式からニュートン法などで求められると思います。
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