| tan(4θ) = 1/2からtan(θ)の値を求める問題が困難ではないとすれば、 それは2次までの方程式の解法で解けるからだと思います。
y = tan(2θ)とおくと、tan(4θ) = 1/2 = 2y/(1-y^2) ⇒ y^2+4y-1 = 0 ⇒ y = -2±√5 0 < θ < π/4より、y = tan(2θ) > 0なので、y = -2+√5です。
z = tan(θ)とおくと、tan(2θ) = y = -2+√5 = 2z/(1-z^2) ⇒ yz^2+2z-y = 0 ・・・ zの値には2重根号が出てきて、それが外せるのかまでは精査してませんが、 根号内に虚数が入ることも無く、数値計算的にもある程度実用的(?)な解が求まります。
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