数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 　よくある　共通接線 / Page: 0]

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■45538 / inTopicNo.1)

　　よくある　共通接線

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□投稿者/ d 一般人(1回)-(2013/10/06(Sun) 23:22:07)

(y - 2)^2 = 4 (x - 1)　　, 　x^2 = -4 y の　共通接線を　お願いします。

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■45539 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 　よくある　共通接線

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□投稿者/ WIZ 付き人(72回)-(2013/10/07(Mon) 08:30:33)

2013/10/07(Mon) 10:11:28 編集(投稿者)

x^2 = -4y ⇒ y = (-1/4)x^2 ⇒ dy/dx = (-1/2)x
接点(?)を(a, (-1/4)a^2)とすれば、
接線はy-(-1/4)a^2 = (-1/2)a(x-a) ⇒ y = (-a/2)x+(1/4)a^2・・・・・(1)

(y-2)^2 = 4(x-1) ⇒ x = (1/4)y^2-y+2 ⇒ dx/dy = (1/2)y-1
接点(?)を(b, (1/4)b^2-b+2)とすれば、
接線はx-b = {(1/2)b-1}{y-{(1/4)b^2-b+2}} ⇒ x = (b/2-1)y+{(-1/8)b^3+(3/4)b^2-b+2}・・・・・(2)

これらの接線が等しいとすると、(1)を(2)に代入して、
x = (b/2-1){(-a/2)x+(1/4)a^2}+{(-1/8)b^3+(3/4)b^2-b+2}
⇒ {1-(b/2-1)(-a/2)}x = (b/2-1){(1/4)a^2}+{(-1/8)(b-2)^3+(1/2)(b-2)+2}

上記がxの値に関わらず成立するためには、
1-(b/2-1)(-a/2) = 0・・・・・(3)
(b/2-1){(1/4)a^2}+{(-1/8)(b-2)^3+(1/2)(b-2)+2} = 0・・・・・(4)

(3)より、a ≠ 0で、b/2-1 = -2/a・・・・・(5)

(5)を(4)に代入すると、
(-2/a){(1/4)a^2}+{-(-2/a)^3+(-2/a)+2} = 0
⇒ (-1/2)a+(2/a)^3-(2/a)+2 = 0
⇒ a^4-4a^3+4a^2-16 = 0
⇒ (a^2-2a)^2-16 = (a^2-2a-4)(a^2-2a+4) = 0
⇒ a = 1±√5, 1±√(-3)

aは実数なのでa = 1±√5です。
接線は、aの値を(1)に代入して、a = 1+√5の場合、y = {-(1+√5)/2}x+(3+√5)/2
a = 1-√5の場合、y = {-(1-√5)/2}x+(3-√5)/2

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■45540 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 　よくある　共通接線

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□投稿者/ d 一般人(2回)-(2013/10/07(Mon) 10:05:32)

■No45539に返信(WIZさんの記事)
>a = 1±√5です。
> 接線は、aの値を(1)に代入して、a = 1+√5の場合、y = {-(1+√5)/2}x+(3+√5)/2
> a = 1+√5の場合、y = {-(1-√5)/2}x+(3-√5)/2
>

a = 1+√5の場合、y = {-(1+√5)/2}x+(3+√5)/2

これが　-4 (-1 + x) + (-2 + y)^2 = 0　に　接しますか?

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■45541 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 　よくある　共通接線

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□投稿者/ WIZ 付き人(73回)-(2013/10/07(Mon) 11:48:50)

先ず、誤記がありましたので訂正しました。私の前回の書き込みも編集済みです。
[誤]a = 1+√5の場合、y = {-(1-√5)/2}x+(3-√5)/2
[正]a = 1-√5の場合、y = {-(1-√5)/2}x+(3-√5)/2

以下、ご指摘に対する訂正です。

x = (b/2-1)y+{(-1/8)b^3+(3/4)b^2-b+2}に対して、
b = 2-4/aより、b = 3±√5, b^2 = 2(3b-2)を用いて整理すると、
x = {(b-2)/2}y+{(-b+4)/2}となります。

b = 3+√5の場合、接線はx = {(1+√5)/2}y+(1-√5)/2}
⇒ y = {2x-(1-√5)}/(1+√5) = {2x-(1-√5)}(1-√5)/(-4) = {-(1-√5)/2}x+(3-√5)/2

b = 3-√5の場合、接線はx = {(1-√5)/2}y+(1+√5)/2
⇒ y = {2x-(1+√5)}/(1-√5) = {2x-(1+√5)}(1+√5)/(-4) = {-(1+√5)/2}x+(-3-√5)/2

となって、前回の私の書き込みと今回の私の書き込みの両方を満たす直線は、
y = {-(1-√5)/2}x+(3-√5)/2のみですね。

前回の私の書き込みは必要条件の一部だけで、充分条件を確認していない中途半端な解説となっていました。
申し訳ありませんでした。

以下、負け惜しみです。
このスレを見て、スレ主さんがこの問題が解けなくて困っているという感じを受けず、
むしろ回答者一般に対する挑戦状として自作問題を投稿したように感じました。
なので、解けることが示せれば良いだろうと考え、かなり端折った回答としていました。
勘違いだったら、ごめんなさい。

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■45543 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 　よくある　共通接線

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□投稿者/ d 一般人(4回)-(2013/10/07(Mon) 22:35:30)

■No45541に返信(WIZさんの記事)
> 先ず、誤記がありましたので訂正しました。私の前回の書き込みも編集済みです。
> [誤]a = 1+√5の場合、y = {-(1-√5)/2}x+(3-√5)/2
> [正]a = 1-√5の場合、y = {-(1-√5)/2}x+(3-√5)/2
>
>
> 以下、ご指摘に対する訂正です。
>
> x = (b/2-1)y+{(-1/8)b^3+(3/4)b^2-b+2}に対して、
> b = 2-4/aより、b = 3±√5, b^2 = 2(3b-2)を用いて整理すると、
> x = {(b-2)/2}y+{(-b+4)/2}となります。
>
> b = 3+√5の場合、接線はx = {(1+√5)/2}y+(1-√5)/2}
> ⇒ y = {2x-(1-√5)}/(1+√5) = {2x-(1-√5)}(1-√5)/(-4) = {-(1-√5)/2}x+(3-√5)/2
>
> b = 3-√5の場合、接線はx = {(1-√5)/2}y+(1+√5)/2
> ⇒ y = {2x-(1+√5)}/(1-√5) = {2x-(1+√5)}(1+√5)/(-4) = {-(1+√5)/2}x+(-3-√5)/2
>
> となって、前回の私の書き込みと今回の私の書き込みの両方を満たす直線は、
> y = {-(1-√5)/2}x+(3-√5)/2のみですね。
>
> 前回の私の書き込みは必要条件の一部だけで、充分条件を確認していない中途半端な解説となっていました。
> 申し訳ありませんでした。
>
>
> 以下、負け惜しみです。
> このスレを見て、スレ主さんがこの問題が解けなくて困っているという感じを受けず、
> むしろ回答者一般に対する挑戦状として自作問題を投稿したように感じました。
> なので、解けることが示せれば良いだろうと考え、かなり端折った回答としていました。
> 勘違いだったら、ごめんなさい。

が　　

(y - 2)^2 = 4 (x - 1)　　, 　x^2 = -4 y 　　に　

　　　本当に　接する　の　で　しょうか　？

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■45544 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 　よくある　共通接線

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□投稿者/ も一般人(1回)-(2013/10/08(Tue) 02:19:31)

■No45538に返信(dさんの記事)
> (y - 2)^2 = 4 (x - 1)　　, 　x^2 = -4 y の　共通接線を　お願いします。
>

3本
2(k＋2)x＋{(k＋2)^2}y－4＝0

kは、以下を満たす
k^3＋2k^2－8k－8＝0

361×361 => 250×250