| ■45539 / ) |
Re[1]: よくある 共通接線
|
□投稿者/ WIZ 付き人(72回)-(2013/10/07(Mon) 08:30:33)
 | 2013/10/07(Mon) 10:11:28 編集(投稿者)
x^2 = -4y ⇒ y = (-1/4)x^2 ⇒ dy/dx = (-1/2)x
接点(?)を(a, (-1/4)a^2)とすれば、
接線はy-(-1/4)a^2 = (-1/2)a(x-a) ⇒ y = (-a/2)x+(1/4)a^2・・・・・(1)
(y-2)^2 = 4(x-1) ⇒ x = (1/4)y^2-y+2 ⇒ dx/dy = (1/2)y-1
接点(?)を(b, (1/4)b^2-b+2)とすれば、
接線はx-b = {(1/2)b-1}{y-{(1/4)b^2-b+2}} ⇒ x = (b/2-1)y+{(-1/8)b^3+(3/4)b^2-b+2}・・・・・(2)
これらの接線が等しいとすると、(1)を(2)に代入して、
x = (b/2-1){(-a/2)x+(1/4)a^2}+{(-1/8)b^3+(3/4)b^2-b+2}
⇒ {1-(b/2-1)(-a/2)}x = (b/2-1){(1/4)a^2}+{(-1/8)(b-2)^3+(1/2)(b-2)+2}
上記がxの値に関わらず成立するためには、
1-(b/2-1)(-a/2) = 0・・・・・(3)
(b/2-1){(1/4)a^2}+{(-1/8)(b-2)^3+(1/2)(b-2)+2} = 0・・・・・(4)
(3)より、a ≠ 0で、b/2-1 = -2/a・・・・・(5)
(5)を(4)に代入すると、
(-2/a){(1/4)a^2}+{-(-2/a)^3+(-2/a)+2} = 0
⇒ (-1/2)a+(2/a)^3-(2/a)+2 = 0
⇒ a^4-4a^3+4a^2-16 = 0
⇒ (a^2-2a)^2-16 = (a^2-2a-4)(a^2-2a+4) = 0
⇒ a = 1±√5, 1±√(-3)
aは実数なのでa = 1±√5です。
接線は、aの値を(1)に代入して、a = 1+√5の場合、y = {-(1+√5)/2}x+(3+√5)/2
a = 1-√5の場合、y = {-(1-√5)/2}x+(3-√5)/2
|
|