数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 帰納法 / Page: 0]

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■45452 / inTopicNo.1)

　帰納法

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□投稿者/ まっぴ一般人(2回)-(2013/07/18(Thu) 23:01:41)

1,2,3,4,5からなるn桁の数で5^nで割り切れるものがある。これを帰納法を使って証明してください。

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■45454 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 帰納法

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□投稿者/ のぼりん一般人(2回)-(2013/07/20(Sat) 01:52:15)

2013/07/20(Sat) 07:39:28 編集(投稿者)

こんばんは。
題意を満たすｎ桁の十進数を、 $2$a_n$ と記します。

先ず、ｎ＝１のときは、 $2$a_1 = 5$ とできます。

次に、ある正の整数ｎに対し、題意を満たす $2$a_n$ が存在したとします。
　　　 $2$a_n = 5^n b$
を満たす正の整数ｂが存在します。
$2$2^n$ を５で割った余りｒは、１以上４以下の整数です。
ｂを５で割った余りをｓとします。
ｓ＋ｒｃが５の倍数となる様な１以上５以下の整数ｃが存在します。
　　　 $2$a^{n + 1} = 10^n c + a_n = 5^n (2^n c + b)$
とおけば、 $2$2^n c + b$ は５で割り切れるので、 $2$a_{n + 1}$ は、 $2$5^{n + 1}$ で割り切れるｎ＋１桁の十進数です。
そのｎ＋１桁目はｃだから１以上５以下、１～ｎ桁目は $2$a_n$ の各桁と等しいので矢張りどの桁も１以上５以下です。

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