数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: Σn/a[n] / Page: 0]

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■45226 / inTopicNo.1)

　Σn/a[n]

□投稿者/ ペネロープ・ガルシア一般人(15回)-(2013/06/01(Sat) 10:16:57)

すみません、また分らない演習問題の件でおじゃまします。

1＜a[1]＜a[2]＜a[3]＜…＜a[n]＜… を合成数からなる整数の数列とする。
どの2つの項も互いに素であるとき、Σ[n=1,∞]n/a[n] が収束することを示せ。

という問題なのですが、お力添え頂けると幸甚に存じます。

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■45242 / inTopicNo.2)

　Re[1]: Σn/a[n]

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□投稿者/ ペネロープ・ガルシア一般人(16回)-(2013/06/03(Mon) 23:07:23)

自分でも色々考えているのですが、
p[n]をn番目の素数とすると、もしかして
　　a[n]≧p[n]^2
って成り立ちますか？これが言えれば収束も言えるのですが…。

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■45243 / inTopicNo.3)

　Re[2]: Σn/a[n]

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□投稿者/ らすかる付き人(67回)-(2013/06/03(Mon) 23:36:37)

成り立ちますね。
(p[n])^2未満の合成数は必ずp[n]未満の素数を少なくとも一つ素因数に含みますから、
もしa[n]＜(p[n])^2だとするとa[1]～a[n]がそれぞれ
p[n]未満の異なる素数を含むことになり、
p[n]未満の素数はn-1個しかないので矛盾します。

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■45244 / inTopicNo.4)

　Re[3]: Σn/a[n]

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□投稿者/ ペネロープ・ガルシア一般人(17回)-(2013/06/04(Tue) 00:55:49)

なるほど！！
確かにおっしゃる通りです。
ありがとうございました！

解決済み!

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