 | a_n→0となることは示されているものとします・・・①
漸化式の逆数を取ると
1/a_{n+1} = 1/a_n + 1 / (1 - a_n)
nを十分大きくとると、①より任意のε>0に対し、a_n<εとなるnが存在します。
b_N≡1/a_Nと置くと、漸化式は
b_{N+1} = b_N + 1 / (1 - a_N)。
a_N<εより、
b_N + 1 / (1 - ε) < b_N + 1 / (1 - a_N) < b_N + 1
漸化式と合わせて
b_N + 1 / (1 - ε) < b_{N+1} < b_N + 1
よって、
b_n + (N - n) / (1 - ε) < b_N < b_n + (N - n)
Nで割り、N→∞の極限をとると、
1/(1-ε) ≦ b_N / N ≦ 1
εは任意なので、b_N/N→1
よって、na_n = n/(b_n)は1に収束します。
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