数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 平均値の定理 / Page: 0]

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■45143 / inTopicNo.1)

　平均値の定理

□投稿者/ 黒ぬこ一般人(9回)-(2013/05/24(Fri) 10:24:09)

笠原晧司先生の「微分積分学」（サイエンス社）を読んでいます。
その中に次の問題があって、極めて謎なのです。
アドバイスをいただけたら嬉しいです。

関数 $2$f(x)$ を、
　　　 $2$x\neq0$ のとき $2$f(x)=x^{\tiny{2}} \sin \left( \frac{1}{x} \right)$
　　　 $2$x=0$ のとき $2$f(0)=0$
と定めると、 $2$f(x)$ は全ての実数で微分可能となる。
$2$x>0$ のとき、平均値の定理より
　　　 $2$\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =f'(\xi)$
すなわち
　　　 $2$x\sin \left(\frac{1}{x}\right)=2\xi\sin \left(\frac{1}{\xi}\right) -\cos \left(\frac{1}{\xi}\right)$
となる実数 $2$\xi \,\,(0<\xi<x)$ が存在する。
これを変形すると
　　　 $2$\cos \left(\frac{1}{\xi}\right)=2\xi\sin \left(\frac{1}{\xi}\right)-x\sin \left(\frac{1}{x}\right)$
ここで $2$x \to +0$ とすると $2$\xi \to +0$ なので、右辺 $2$\to 0$ 。
一方、
　　　 $2$\lim_{y\to +0} \cos \left( \frac{1}{y}\right)$
は存在しないはずである。なぜこのようなことが起こったか？

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■45145 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 平均値の定理

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□投稿者/ らすかる付き人(50回)-(2013/05/24(Fri) 11:04:34)

その式はx＞0の場合に成り立つ式なので、
x→+0のときに成り立たなくても特におかしくないのでは？

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■45146 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 平均値の定理

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□投稿者/ 黒ぬこ一般人(10回)-(2013/05/24(Fri) 12:32:58)

xを一つ止めると成り立つ式であって、
xを動かすと正しくない式である、
ということですか？

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■45147 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 平均値の定理

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□投稿者/ らすかる付き人(51回)-(2013/05/24(Fri) 13:26:23)

上の書き込みはちょっとピントがずれていたようですので無視して下さい。

説明がうまくないかも知れませんが、
x→+0 と ξ→+0 を独立に考えている点が問題だと思います。
ξがxに依存して変化しますので、
x→+0に対してξは連続的に→+0に行くとは限りません。
どんな小さいxに対しても、
0＜1/{(2n+1)π/2}＜x となるnはとれますから、
例えばξがこの1/{(2n+1)π/2}に限定されるとすれば
lim[ξ→+0]cos(1/ξ)=0となりますね。

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■45154 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 平均値の定理

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□投稿者/ 黒ぬこ一般人(11回)-(2013/05/25(Sat) 10:51:52)

なるほど。
ありがとうございます。

解決済み!

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