 | > Xさん、Cruella de Vilさん
Xさんの方法も解決に近づいていると思いますよ。
実は私も同じような方法を考えていたのですが、しっくりこなくて発言を控えてました。
不定積分をF(x) = ∫(x^n)f(x)dxとおけば、∫[0→1](x^n)f(x)dx = F(1)-F(0)です。
平均値の定理より、0 < c < 1となる実数cが存在して、(F(1)-F(0))/(1-0) = F'(c) = (c^n)f(c)です。
これらより、n∫[0→1](x^n)f(x)dx = n(c^n)f(c)となります。
# ここまではXさんの方法とほぼ同じです。
ここで、変な言い回しですが、cが1より十分(?)小さくて、
n→∞のときにn(c^n)→0となるのなら、lim[n→∞]{n∫[0,1]{(x^n)f(x)}dx}→0といえます。
しっくりこない点は、(x^n)f(x)によってはcを1より十分(?)小さくできなくて、
例えば1-1/n < c < 1などとなってしまう必要があると、
n→∞のときc^n→(1/eより大きい正の実数?)などとなってしまい、n(c^n)→∞となってしまいます。
なので、上記のしっくりこない点を突破する方法があるか、違うアプローチでこの問題を解くかですね。
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