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■45157 / inTopicNo.1)  Re[4]: 京大院試
  
□投稿者/ Cruella de Vil 一般人(15回)-(2013/05/25(Sat) 11:21:37)
    No45156に返信(Xさんの記事)
    > >> Cruella de Vil さんへ
    > むむ、確かにその通りですね。
    > cのnに対する依存性がどのような形になるか議論しないといけませんか。
    > 
    > f(x)を適当に設定すると、与式がもし収束するのであれば
    > f(1)
    > となるようなのですがもどかしいですね。
    
    おっしゃる通り、答はf(1)となりそうなのですが、
    私もなかなか証明できません…。

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■45156 / inTopicNo.2)  Re[3]: 京大院試
□投稿者/ X 一般人(8回)-(2013/05/25(Sat) 11:18:22)
    >> Cruella de Vil さんへ
    むむ、確かにその通りですね。
    cのnに対する依存性がどのような形になるか議論しないといけませんか。

    f(x)を適当に設定すると、与式がもし収束するのであれば
    f(1)
    となるようなのですがもどかしいですね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■45155 / inTopicNo.3)  Re[2]: 京大院試
□投稿者/ Cruella de Vil 一般人(14回)-(2013/05/25(Sat) 11:02:07)
    No45153に返信(Xさんの記事)
    > 2013/05/25(Sat) 10:44:22 編集(投稿者)
    > 
    > >>WIZさんへ
    > 置換積分を間に挟むと頭についているnをうまい具合に処理できるようです。
    > 
    > x^n=tと置くと
    > n∫[0→1](x^n)f(x)dx=∫[0→1]{t^(1/n)}f(t^(1/n))dt
    > ∴平均値の定理により
    > ∃c∈(0,1) s.t. n∫[0→1](x^n)f(x)dx={c^(1/n)}f(c^(1/n))
    > よって
    > (与式)=f(1)
    > 
    
    そのは、に依存するのではないでしょうか?
    例えば、となってしまうと、極限はにならないと思います。

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■45153 / inTopicNo.4)  Re[1]: 京大院試
□投稿者/ X 一般人(7回)-(2013/05/25(Sat) 10:37:12)
    2013/05/25(Sat) 10:44:22 編集(投稿者)

    >>WIZさんへ
    置換積分を間に挟むと頭についているnをうまい具合に処理できるようです。

    x^n=tと置くと
    n∫[0→1](x^n)f(x)dx=∫[0→1]{t^(1/n)}f(t^(1/n))dt
    ∴平均値の定理により
    ∃c∈(0,1) s.t. n∫[0→1](x^n)f(x)dx={c^(1/n)}f(c^(1/n))
    よって
    (与式)=f(1)

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■45152 / inTopicNo.5)  Re[1]: 京大院試
□投稿者/ WIZ 一般人(33回)-(2013/05/25(Sat) 09:29:53)
    > Xさん、Cruella de Vilさん

    Xさんの方法も解決に近づいていると思いますよ。
    実は私も同じような方法を考えていたのですが、しっくりこなくて発言を控えてました。

    不定積分をF(x) = ∫(x^n)f(x)dxとおけば、∫[0→1](x^n)f(x)dx = F(1)-F(0)です。
    平均値の定理より、0 < c < 1となる実数cが存在して、(F(1)-F(0))/(1-0) = F'(c) = (c^n)f(c)です。
    これらより、n∫[0→1](x^n)f(x)dx = n(c^n)f(c)となります。
    # ここまではXさんの方法とほぼ同じです。

    ここで、変な言い回しですが、cが1より十分(?)小さくて、
    n→∞のときにn(c^n)→0となるのなら、lim[n→∞]{n∫[0,1]{(x^n)f(x)}dx}→0といえます。

    しっくりこない点は、(x^n)f(x)によってはcを1より十分(?)小さくできなくて、
    例えば1-1/n < c < 1などとなってしまう必要があると、
    n→∞のときc^n→(1/eより大きい正の実数?)などとなってしまい、n(c^n)→∞となってしまいます。

    なので、上記のしっくりこない点を突破する方法があるか、違うアプローチでこの問題を解くかですね。
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■45151 / inTopicNo.6)  Re[2]: 京大院試
□投稿者/ X 一般人(6回)-(2013/05/25(Sat) 05:26:54)
    >>Cruella de Vilさんへ
    ご指摘ありがとうございます。
    >> kentさんへ
    ごめんなさい。計算を間違えていました。
    私の解答は無視して下さい。
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■45150 / inTopicNo.7)  Re[2]: 京大院試
□投稿者/ Cruella de Vil 一般人(13回)-(2013/05/25(Sat) 03:34:07)
    No45149に返信(Xさんの記事)
    > (略解)
    > 平均値の定理により
    > ∃c∈(0,1) s.t. ∫[0→1](x^n)f(x)dx=(c^n)f(c)
    > ∴(与式)=0
    
    求めるのは、
    
    ですよね?
    
    ではなくて…。

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■45149 / inTopicNo.8)  Re[1]: 京大院試
□投稿者/ X 一般人(5回)-(2013/05/24(Fri) 20:56:04)
    (略解)
    平均値の定理により
    ∃c∈(0,1) s.t. ∫[0→1](x^n)f(x)dx=(c^n)f(c)
    ∴(与式)=0
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■45138 / inTopicNo.9)  京大院試
□投稿者/ kent 一般人(1回)-(2013/05/23(Thu) 18:24:44)
    f(x)は区間[0,1]で連続とする。
    lim[n→∞]n *∫[0,1]x^n*f(x)dxを求めよ。

    という問題を教えてください。
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