 | 2013/05/12(Sun) 09:57:20 編集(投稿者)
2013/05/12(Sun) 09:57:06 編集(投稿者)
「また後で」と書いてしまった手前、何も返信しないのは失礼なので、まだ証明できてませんが途中経過を報告します。
-1 < x < 1の範囲でx = mの時、y = f(x)は最大値M = f(m)を取るものとします。
らすかるさんも書いていますが、次数が2の場合はシンプソンの公式より、
∫[-1,1]f(x)dx = {{1-(-1)}/6}{f(-1)+4M+f(1)} = (4/3)Mなので、
(3/4)∫[-1,1]f(x)dx ≦ M(←等号が成立)と言えます。
次数が3以上の場合
(-1, 0)を通るy = f(x)の接線は、y = f'(-1)(x+1)で、
(1, 0)を通るy = f(x)の接線は、y = f'(1)(x-1)で、
(m, M)を通るy = f(x)の接線は、y = Mです。
接線y = f'(-1)(x+1)と接線y = Mの交点は({M/f'(-1)}-1, M)で、
接線y = f'(1)(x-1)と接線y = Mの交点は({M/f'(1)}+1, M)です。
3接線と、y = 0で囲まれた台形を考えると、
上底の長さは{{M/f'(1)}+1}-{{M/f'(-1)}-1} = {M/f'(1)}-{M/f'(-1)}+2
下底の長さは2、高さはMですので、面積は{{M/f'(1)}-{M/f'(-1)}+4}M/2となります。
# 正確には-1 < {M/f'(-1)}-1 < m < {M/f'(1)}+1 < 1であることを示す必要がありますが・・・。
それで、これ以上の進展はありません。
f'(-1)とf'(1)の評価ができていないので、{{M/f'(1)}-{M/f'(-1)}+4}M/2の評価もできてません。
別の方法で、次数が3以上の場合
(-1, 0), (m, M), (1, 0)を通る放物線を考えます。
y = g(x) = {M/(m^2-1)}(x^2-1)となります。-1 < m < 1なので、-1 ≦ m^2-1 < 0です。
∫[-1,1]g(x)dx = (4/3)M/(1-m^2) ≧ (4/3)M
これも、グラフとしてy = f(x)がy = g(x)の上に出る事が無いかどうか分かりませんので、
∫[-1,1]f(x)dx ≦ (4/3)Mは勿論、∫[-1,1]f(x)dx ≦ (4/3)M/(1-m^2)すら証明できてません。
|
