| ■45071 / ) |
Re[1]: ある多項式の積分の不等式
|
□投稿者/ WIZ 一般人(15回)-(2013/05/11(Sat) 13:41:00)
 | (3/4)∫[-1,1]f(x)dx ≦ max[-1 < x < 1]f(x)ですね。
条件「f(x) = 0の解は(全て)実数」から、f(x)の極大値 > 0かつ極小値 < 0であると言えます。
条件「f(-1) = f(1)」と「-1 < x < 1でf(x) > 0」より、-1 < x < 1の範囲にf(x)の極大値が1個だけあります。
x = -1のy = f(x)の接線は傾きが正、
-1 < x < 1で、f(x)が最大となるのは極大値ですから、このxに対するy = f(x)の接線は傾きが0、
x = 1のy = f(x)の接線は傾きが負です。
曲線y = f(x)はこれら3接線の上側に出ることはないので、
∫[-1,1]f(x)dx ≦ {3接線とy = f(1)で囲まれる台形の面積}+2f(1)
です。
{3接線とy = f(1)で囲まれる台形の面積}+2f(1)を正確に評価できれば証明できると思います。
# 今から出掛けないといけないので、また後で!
|
|