 | 返事が遅れてすみません。
ちょっと気になる点がいくつか。
a<-2 の時にさらに場合わけをしていますが、
a<-2 ならば (a+2)(a-1)>0 が真なので、2-a^2<a が真、つまり、(1)の場合しか起こりえません。
そして、a<-2 かつ (1)の時、a<-2 となったのであれば、そこまでは問題ありません。
なぜなら、a<-2 ならば a<-2 という条件は、当たり前ですから、
a<-2 の場合はすべてF(a)∩G(a)⊂Iが成立する、
といっているわけで、a<-2 が答の範囲に含まれることを意味します。
確かに、これは最終的な答 a≦-√2, a≧1 に含まれています。
あとはa≧-2 の場合を調べれば終わりです。
以下、私の考え方です。
どの場合でも、F(a),G(a), F(a)∩G(a), I について、おおまかに数直線上に描いてみてください。F(a),G(a)は、具体的に描くというよりは x<A, x<B, C<x<D とみて考えます。
a<-2の時、私にはなぜ４つのパターンに場合わけする必要があるのかわかりません。
この場合は、F(a)∩G(a)の形をきちんと決めなくても、
G(a)={x|x＜a または a+2＜x＜0} が {x|x<0} に含まれているのは明らかで、
また積集合の定義からF(a)∩G(a)⊂G(a)であり、したがって、F(a)∩G(a)⊂G(a)⊂I です。
つまり、この場合はすべてのaについて、F(a)∩G(a)⊂I です。
他の場合もやってみましょう。
-2≦a<0 のとき、F(a)∩G(a)は
x<2-a^2 かつ (x<a または 0<x<a+2)
です。図を描いて、よく見て考えてください。
0<x<a+2 の部分が x<2-a^2 の部分と交わると F(a)∩G(a)がx<0 の部分からはみ出してしまいます。
つまり、0<2-a^2 であるとダメ、そうでなければa<0よりOKなので、0≧2-a^2 が条件。
a^2≧2 なので、-2≦a<0 と合わせて -2≦a≦-√2
もちろん、これも、2-a^2 と a, a+2 との位置関係で地道に場合わけしてもかまいませんが、遠回りな気がします。
a≧0 のとき、同様にF(a)∩G(a)は
x<2-a^2 かつ (x<0 または a<x<a+2)
です。
上と同様に、a<x<a+2 の部分と x<2-a^2 の部分が交わるときに限ってダメなので、2-a^2≦a が条件です。
これはa^2+a-2≧0 と同値で、(a+2)(a-1)≧0, a≧0 だから a≧1 と同値。
以上を合わせて a≦-√2, a≧1です。
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