数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 数学的帰納法 / Page: 0]

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■44519 / inTopicNo.1)

　数学的帰納法

□投稿者/ n 一般人(12回)-(2012/03/06(Tue) 18:26:50)

お世話になります。

ｎが自然数のとき、次の不等式を数学的帰納法で証明せよ。
$2$a>0,b>0$ のとき $2$\frac{a^n+b^n}{2}\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^n$

という問題なのですが、その解答方針に　 $2$n=k+1$ のときについて
$2$\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^{k+1}\geq$ 「 $2$\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}-\frac{a+b}{2}\cdot \frac{a^k+b^k}{2}$ 」 $2$ =\frac{(a-b)(a^k-b^k)}{4}$
ここで、 $2$a^k-b^k=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+...+ab^{k-2}+b^{k-1})$ であることを利用
・・・とあるのですが、どうして「」内のようになるのか分からないのと、
「・・・であることを利用」してどのように証明すればよいのか分かりません。

どなたか教えて頂けませんでしょうか。よろしくお願い致します。

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■44520 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数学的帰納法

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□投稿者/ mkdir 一般人(1回)-(2012/03/06(Tue) 19:00:47)

> どうして「」内のようになるのか
帰納法の仮定 $2$\frac{a^k+b^k}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^k$ を使っただけ。

> 「・・・であることを利用」してどのように証明すればよいのか分かりません。
代入するだけ。そうすれば右辺が (非負)*(正) の形になるから証明終わり。

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■44522 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数学的帰納法

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□投稿者/ n 一般人(13回)-(2012/03/06(Tue) 19:20:05)

早速のご回答ありがとうございます。
>>どうして「」内のようになるのか
> 帰納法の仮定 $2$\frac{a^k+b^k}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^k$ を使っただけ。
すみませんが、この点についてよく分からなかったので、もう少し詳しく教えて頂けませんでしょうか。
よろしくお願い致します。

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■44523 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 数学的帰納法

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□投稿者/ mkdir 一般人(2回)-(2012/03/06(Tue) 19:24:53)

帰納法の仮定がわからないということ？不等式の性質が分からないと言うこと？

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■44524 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 数学的帰納法

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□投稿者/ n 一般人(14回)-(2012/03/06(Tue) 19:40:36)

何度もすみません。私が言いたかったのは、
$2$\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^{k+1}$ の変形は理解できるのですが、
なぜ帰納法の仮定から $2$\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}-\frac{a+b}{2}\cdot \frac{a^k+b^k}{2}$ へ
導けるのかが分からないという事です。

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■44525 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 数学的帰納法

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□投稿者/ mkdir 一般人(3回)-(2012/03/06(Tue) 19:50:47)

2012/03/06(Tue) 19:59:37 編集(投稿者)

それは「帰納法の仮定」という概念や、この問題での帰納法の仮定が何なのかは、分かっているということでいいんですね？

$2$\left(\frac{a+b}{2}\right)^{k+1}\!=\frac{a+b}{2}\cdot\left(\frac{a+b}{2}\right)^k$ と書けば $2$\left(\frac{a+b}{2}\right)^k$ が出てくるから、ここに帰納法の仮定を適用する。不等式の性質として、同じ数から引き算するなら、大きいものを引いたほうが小さくなるのは道理。

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■44526 / inTopicNo.7)

　Re[2]: 数学的帰納法

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□投稿者/ n 一般人(15回)-(2012/03/06(Tue) 20:18:53)

ようやく理解する事が出来ました。
本当にありがとうございました。

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