 | 点(a,b)は円x^2+y^2=2上の点ですので
a=(√2)cosθ (A)
b=(√2)sinθ (B)
(0≦θ＜2π) (C)
と置くことができます。
今
b＜a^2 (D)
2ax-y-b=0 (E)
と置くと(A)(B)(D)より
2(cosθ)^2-(√2)sinθ＞0
2(sinθ)^2+(√2)sinθ-2＜0
∴{(√2)sinθ+2}{(√2)sinθ-1}＜0
(C)より
-1≦sinθ≦1
であることから
-1≦sinθ＜1/√2
∴0≦θ＜π/4,3π/4＜θ＜2π (D)'
一方(A)(B)(E)より
2x(√2)cosθ-y-(√2)sinθ=0
sinθ-2xcosθ=-y
sin(θ-α)=-y/√(4x^2+1) (E)'
(但しαはtanα=2x,-π/2＜α＜π/2なる角) (F)
よって求める条件は(E)の解が(D)'の範囲に含まれる条件となります。
さて(D)'より
-α≦θ-α＜π/4-α4,3π/4-α＜θ-α＜2π-α (D)"
(i)π/4≦α＜π/2、つまり1≦2xのとき
(F)により
-1≦sin(θ-α)＜sin(3π/4-α) (G)
(G)に(E)'を代入して
-1≦-y/√(4x^2+1)＜sin(3π/4-α) (H)
更に
sin(3π/4-α)=sin(3π/4)cosα-cos(3π/4)sinα
=(1/√2)(sinα+cosα)
=(1+2x)/{2√(4x^2+1)}
となりますので(H)は
-1≦-y/√(4x^2+1)＜(1+2x)/{2√(4x^2+1)}
∴-x-1/2＜y≦√(4x^2+1)
(ii)-π/4≦α≦π/4、つまり-1≦2x≦1のとき
-1≦sin(θ-α)≦1
となるので…
(iii)-π/2＜α≦-π/4、つまり2x≦-1のとき
sin(π/4-α)≦sin(θ-α)≦1
となるので…
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