| 点(a,b)は円x^2+y^2=2上の点ですので a=(√2)cosθ (A) b=(√2)sinθ (B) (0≦θ<2π) (C) と置くことができます。 今 b<a^2 (D) 2ax-y-b=0 (E) と置くと(A)(B)(D)より 2(cosθ)^2-(√2)sinθ>0 2(sinθ)^2+(√2)sinθ-2<0 ∴{(√2)sinθ+2}{(√2)sinθ-1}<0 (C)より -1≦sinθ≦1 であることから -1≦sinθ<1/√2 ∴0≦θ<π/4,3π/4<θ<2π (D)' 一方(A)(B)(E)より 2x(√2)cosθ-y-(√2)sinθ=0 sinθ-2xcosθ=-y sin(θ-α)=-y/√(4x^2+1) (E)' (但しαはtanα=2x,-π/2<α<π/2なる角) (F) よって求める条件は(E)の解が(D)'の範囲に含まれる条件となります。 さて(D)'より -α≦θ-α<π/4-α4,3π/4-α<θ-α<2π-α (D)" (i)π/4≦α<π/2、つまり1≦2xのとき (F)により -1≦sin(θ-α)<sin(3π/4-α) (G) (G)に(E)'を代入して -1≦-y/√(4x^2+1)<sin(3π/4-α) (H) 更に sin(3π/4-α)=sin(3π/4)cosα-cos(3π/4)sinα =(1/√2)(sinα+cosα) =(1+2x)/{2√(4x^2+1)} となりますので(H)は -1≦-y/√(4x^2+1)<(1+2x)/{2√(4x^2+1)} ∴-x-1/2<y≦√(4x^2+1) (ii)-π/4≦α≦π/4、つまり-1≦2x≦1のとき -1≦sin(θ-α)≦1 となるので… (iii)-π/2<α≦-π/4、つまり2x≦-1のとき sin(π/4-α)≦sin(θ-α)≦1 となるので…
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