数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[10]: 0<∃ε∈R;|εexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1)|≦2を示してます / Page: 0]

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■44066 / inTopicNo.1)

　0<∃ε∈R;|εexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1)|≦2を示してます

□投稿者/ 白沢一般人(1回)-(2011/09/07(Wed) 23:29:46)

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■44069 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 0<∃ε∈R;|εexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1)|≦2を示してます

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□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(22回)-(2011/09/08(Thu) 02:57:20)

まず、ひとつ確認したいのですが…
> ε:=1/|cosθ+isinθ|と置いてみたのですが
これは、すなわちε=1と置いていることに等しい、ということが理解できますか？

> どのようにεを採ったらいいのでしょうか?
ε=2/3ととってみたらいいと思います。

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■44073 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 0<∃ε∈R;|εexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1)|≦2を示してます

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□投稿者/ 白沢一般人(2回)-(2011/09/08(Thu) 22:50:47)

どうも有難うございます。

> まず、ひとつ確認したいのですが…
>> ε:=1/|cosθ+isinθ|と置いてみたのですが
> これは、すなわちε=1と置いていることに等しい、ということが理解できますか？

はい、cosθ+isinθは複素平面上原点を中心とする単位円周を表しますからね。

>> どのようにεを採ったらいいのでしょうか?
> ε=2/3ととってみたらいいと思います。

早速,試してみましたら
|εexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1)|=ε|cosθ+isinθ|/|exp(ε(cosθ+isinθ))-1|
=ε・1/|exp(ε(cosθ+isinθ))-1|
=2/3・1/|(exp(cosθ+isinθ))^{2/3}-1|
でここからどうすればいいのでしょうか?

で|exp(cosθ+isinθ))|=1なのでexp(cosθ+isinθ)のグラフは単位円周上に存在する事は分かります。
もしθ=0なら分母は|(exp(cosθ+isinθ))^{2/3}-1|=0となって
2/3・1/|(exp(cosθ+isinθ))^{2/3}-1|を2で押えれなくなりますよね。

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■44074 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 0<∃ε∈R;|εexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1)|≦2を示してます

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□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(24回)-(2011/09/08(Thu) 23:21:07)

2011/09/08(Thu) 23:37:27 編集(投稿者)

■No44073に返信(白沢さんの記事)
> もしθ=0なら分母は|(exp(cosθ+isinθ))^{2/3}-1|=0となって
> 2/3・1/|(exp(cosθ+isinθ))^{2/3}-1|を2で押えれなくなりますよね。

何故 $2$ \theta=0$ のときに $2$ | (\exp \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) )^{\frac{2}{3}} - 1\quad | = 0$ となると思うのでしょうか？

$2$ \theta=0$ ならば、 $2$ | (\exp \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) )^{\frac{2}{3}} - 1| = | (\exp \left( \cos 0 + i \sin 0 \right) )^{\frac{2}{3}} - 1| = | (\exp \left( 1 + i \ast 0 \right) )^{\frac{2}{3}} - 1| = | e^{\frac{2}{3}} - 1| = 0.947734041 \cdots$ となるはずですが…。

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■44077 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 0<∃ε∈R;|εexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1)|≦2を示してます

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□投稿者/ 白沢一般人(3回)-(2011/09/09(Fri) 08:44:26)

そうでした。

もしθ=0なら分母は|(exp(cosθ+isinθ))^{2/3}-1|=|e-1|となるのでした。
よってθ=0なら|εexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1)|は2で押えれますね。

でもθが一般角の場合はどうすればいいのでしょうか?

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■44078 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 0<∃ε∈R;|εexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1)|≦2を示してます

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□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(26回)-(2011/09/09(Fri) 10:23:13)

■No44077に返信(白沢さんの記事)
> そうでした。
>
> もしθ=0なら分母は|(exp(cosθ+isinθ))^{2/3}-1|=|e-1|となるのでした。

ん～？？？
$2$ \large |e-1|$ ではなくて $2$ \large |e^{\frac{2}{3}} -1|$ になるんじゃないですか？

>
> でもθが一般角の場合はどうすればいいのでしょうか?

$2$ \large \theta$ が任意のときは、 $2$ \large z=\exp(i \theta) = e^{i \theta}$ と置いた方が ( $2$\large \theta$ を前面に押し出さない方が) 分かりやすく証明できそうです。 (したがって、このとき $2$\large |z|=1$ 。)

$2$ \large \frac{\left\mid \varepsilon \exp(i \theta)\right\mid }{ \left\mid \exp( \varepsilon \exp(i \theta) ) -1 \right\mid} \leq2$ は、 $2$\Large \left| e^{{\varepsilon}z} -1 \right| \geq \frac{\varepsilon}{2}$ と同じですから、後者の不等式を示すことにしましょう。

$2$\Large | e^{ \varepsilon z} -1 | = \left| \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{( \varepsilon z)^{n}}{n!} \right| \geq \left| \varepsilon z \right| - \left| \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{( \varepsilon z)^{n}}{n!} \right| \geq \varepsilon - \varepsilon\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \varepsilon^{n}}{(n+1)!} \geq \varepsilon - \varepsilon\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{ 1}{3} \right)^{n} = \frac{ \varepsilon }{2}$

したがって、 $2$ \large \varepsilon = \displaystyle\frac{2}{3}$ であれば、 $2$\large z$ がなんであっても(つまり $2$\large \theta$ がなんであっても)、 $2$\Large | e^{{\varepsilon}z} -1 | \geq \frac{\varepsilon}{2} \Large$ が成り立ちます。

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■44080 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 0<∃ε∈R;|εexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1)|≦2を示してます

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□投稿者/ BOM 一般人(2回)-(2011/09/09(Fri) 10:30:27)

またいつもの、ろくに考えずに鸚鵡返しのひとですね。皆様ほどほどに。

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■44081 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 0<∃ε∈R;|εexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1)|≦2を示してます

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□投稿者/ 通りすがり一般人(1回)-(2011/09/11(Sun) 05:46:14)

質問と無関係な
単に他者を扇動する発言はやめましょう。

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■44084 / inTopicNo.9)

　Re[7]: 0<∃ε∈R;|εexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1)|≦2を示してます

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□投稿者/ 白沢一般人(4回)-(2011/09/12(Mon) 02:02:20)

お陰様で漸く解決できました。

ε-εΣ_{n=1}^∞ε^n/(n+1)!≧ε-εΣ_{n=1}^∞(1/3)^nの箇所は
∀x∈Cに対して,lim_{n→∞}x^n/n!=0という命題を使えばいいのですね。

解決済み!

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■44086 / inTopicNo.10)

　Re[8]: 0<∃ε∈R;|εexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1)|≦2を示してます

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□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(27回)-(2011/09/12(Mon) 06:05:40)

2011/09/12(Mon) 06:15:36 編集(投稿者)

■No44084に返信(白沢さんの記事)
>
> ε-εΣ_{n=1}^∞ε^n/(n+1)!≧ε-εΣ_{n=1}^∞(1/3)^nの箇所は
> ∀x∈Cに対して,lim_{n→∞}x^n/n!=0という命題を使えばいいのですね。

それでもいいですが、単に
　　 $2$ \large (n+1)! \ge 2^{n}$
を使っただけです。
$2$ \large \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \varepsilon ^{n}}{(n+1)!} = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \left( \frac{2}{3} \right) ^{n}}{(n+1)!} \le \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \left( \frac{2}{3} \right) ^{n}}{2^{n}} = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{ 1}{3} \right)^n$

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■44136 / inTopicNo.11)

　Re[9]: 0<∃ε∈R;|εexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1)|≦2を示してます

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□投稿者/ 白沢一般人(5回)-(2011/09/22(Thu) 01:44:24)

2011/09/22(Thu) 01:44:54 編集(投稿者)

遅くなりまして申し訳ありません。

お陰様で再納得です。どうも有難うございました。

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■44176 / inTopicNo.12)

　Re[9]: 0<∃ε∈R;|εexp(iθ)/(exp(εexp(iθ))-1)|≦2を示してます

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□投稿者/ 白沢一般人(6回)-(2011/10/08(Sat) 08:20:44)

更に理解が深まりました。
どうも有難うございます。