数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 漸化式 / Page: 0]

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■43942 / inTopicNo.1)

　漸化式

□投稿者/ mitti 一般人(15回)-(2011/07/11(Mon) 16:48:45)

a_1=1, a_{n+1}=(5a_n+3)/(a_3+3) (n=1,2,3･･･)
という問題で、以下のように解きました。どこで間違っていますか。

a_{n+1}-3=(5a_n+3)/(a_3+3)-3
=(2a_n-6)/(a_n+3)
=2(a_n-3)/(a_n+3)

a_n-3=b_nとおいて,
b_{n+1}=2bn/(b_n+6)
1/b_{n+1}=(b_n+6)/(2b_n)
1/b_n=c_nとおくと
　　　　　c_{n+1}=1/2+3c_n
c_n=(-2･3^{n-1})/4
　　よって, b_n=4/(-2･3^{n-1}-1)
したがって,
a_n=(1-6･3^{n-1})/(-2･3^{n-1}-1)

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■43951 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 漸化式

▲▼■

□投稿者/ X 付き人(93回)-(2011/07/13(Wed) 09:33:55)

>>c_{n+1}=1/2+3c_n ((A)とします。)
までは問題ありませんが、これ以降のc[n]の計算が間違っています。
(A)より
c[n+1]+1/4=3(c[n]+1/4)
∴c[n]+1/4=(c[1]+1/4)・3^(n-1)
ここで
c[1]=1/b[1]=1/(a[1]-3)=-1/2
∴c[n]=(1/4){1-3^(n-1)}
よって
a[n]=b[n]+3=1/c[n]+3
=4/{1-3^(n-1)}+3
=(7-3^n)/{1-3^(n-1)}
となります。

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■43982 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 漸化式

▲▼■

□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(3回)-(2011/07/31(Sun) 18:25:49)

■No43951に返信(Xさんの記事)
> >>c_{n+1}=1/2+3c_n ((A)とします。)
> までは問題ありませんが、これ以降のc[n]の計算が間違っています。
> (A)より
> c[n+1]+1/4=3(c[n]+1/4)
> ∴c[n]+1/4=(c[1]+1/4)・3^(n-1)
> ここで
> c[1]=1/b[1]=1/(a[1]-3)=-1/2
> ∴c[n]=(1/4){1-3^(n-1)}
> よって
> a[n]=b[n]+3=1/c[n]+3
> =4/{1-3^(n-1)}+3
> =(7-3^n)/{1-3^(n-1)}
> となります。

　　 $2$ c_{1} = -\frac{1}{2}$
なので、
　　 $2$ c_{n} + \frac{1}{4} = \left( c_{1} + \frac{1}{4} \right) \cdot 3^{n-1} = -\frac{1}{4} \cdot 3^{n-1} \\ \therefore c_{n} = -\frac{1}{4} ( 1 + 3^{n-1} )$
したがって、
　　 $2$ a_{n} = b_{n} + 3 = \frac{1}{c_{n}} + 3 = - \frac{4}{1 + 3^{n-1}} + 3 = \frac{3^{n} - 1}{3^{n-1} + 1}$
とならないでしょうか？

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■43983 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 漸化式

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□投稿者/ X 付き人(95回)-(2011/08/01(Mon) 06:48:23)

>>vanilla bonicaさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>mittiさんへ
ごめんなさい。vanilla bonicaさんのレスの通りの計算ミスがあります。

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