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■43812 / inTopicNo.1)

　積分の計算・・・

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□投稿者/ sky 一般人(1回)-(2011/06/10(Fri) 23:41:29)

∫x/(1-x^3) dx

この積分の計算方法を教えてください。チャート式で調べたのですが分かりませんでした・・・

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■43816 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分の計算・・・

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□投稿者/ X 付き人(80回)-(2011/06/11(Sat) 08:53:44)

x/(1-x^3)=-x/{(x-1)(x^2+x+1)}
と変形できますので
x/(1-x^3)=a/(x-1)+(bx+c)/(x^2+x+1)
と部分分数分解できるとしてa,b,cの値を求めることをまず考えましょう。

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■43817 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 積分の計算・・・

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□投稿者/ sky 一般人(2回)-(2011/06/11(Sat) 11:47:53)

部分分数に分解してみましたが、a=b=c=0になってしまいました・・・
x/(1-x)(1+x+x^2)
=a/(1-x)+(bx+c)/(1+x+x^2)になると考えて通分し分子のみ書くと
a(1+x+x^2)+(1-x)(bx+c)
整理すると
(a+c)+(a+b-c)x+(a-b)x^2でこれがxに等しいので恒等式を解くと
a+c=0,a+b-c=1,a-b=0
これを計算したら上記の結果になったしまいました・・・
どこが間違っているのでしょうか

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■43818 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 積分の計算・・・

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□投稿者/ X 付き人(81回)-(2011/06/11(Sat) 12:28:09)

2011/06/11(Sat) 12:39:37 編集(投稿者)

a+c=0,a+b-c=1,a-b=0
の計算を誤っています。
もしこれの解がa=b=c=0だとすると、第二式にこれを代入した場合
0=1
となってしまい、成立しません。
こちらの計算では
(a,b,c)=(1/3,1/3,-1/3)
となりました。

それともう一点。
この不定積分を計算していくと最終的にarctanを用いた式が現れます。
定積分で計算するために原始関数を知りたいという話であれば
置換積分によりarctanが式の中に現れるのを避けることができますが
そうでなく、飽くまで不定積分を計算したいのならば高校数学の範囲を超えます。
(つまりチャート式を調べても不定積分としての解は載ってません。)

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■43819 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 積分の計算・・・

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□投稿者/ シャロン一般人(33回)-(2011/06/11(Sat) 12:30:44)

■No43817に返信(skyさんの記事)
> a+c=0,a+b-c=1,a-b=0
の解はa=b=c=0ではありません。

再度方程式を検算してみては？

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■43820 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 積分の計算・・・

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□投稿者/ sky 一般人(4回)-(2011/06/11(Sat) 13:11:50)

自分の計算間違いでした・・・すみません
(a,b,c)=(1/3,1/3,-1/3)になりました！が、またつまずいてしまいました
この値を代入し計算したのですが
1/3∫1/(1-x)dx+1/3∫(x-1)/(1-x-x^2)dxで左の積分は
1/3log|1-x|となりました。右の積分はどうしたらいいのでしょうか。
次数も下げれないし、部分分数に分解もできないし・・・

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■43822 / inTopicNo.7)

　Re[1]: 積分の計算・・・

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□投稿者/ X 付き人(83回)-(2011/06/11(Sat) 13:46:03)

2011/06/11(Sat) 13:57:20 編集(投稿者)

(1/3)∫{(x-1)/(1-x-x^2)}dx
=-(1/3)∫{(1/2)(2x+1)-3/2}/(x^2+x+1)}dx
=-(1/6)∫{(2x+1)/(x^2+x+1)}dx+(1/2)∫dx/(x^2+x+1)
=-(1/6)log(x^2+x+1)+(1/2)∫dx/(x^2+x+1)
となりますが第二項の
(1/2)∫dx/(x^2+x+1)
はarctanを含む形になりますので、高校数学の範囲では解けません。
但し、不定積分ではなくて定積分を計算したいということであれば話は変わってきます.
例えば
∫[0→1]dx/(x^2+x+1)
を計算する場合
∫[0→1]dx/(x^2+x+1)
=∫[0→1]dx/{(x+1/2)^2+3/4}
=(4/3)∫[0→1]dx/{1+{(2/√3)(x+1/2)}^2}
と変形して(2/√3)(x+1/2)=tanθ
と置くと
∫[0→1]dx/(x^2+x+1)
=(4/3)∫[π/6→π/3]{{(√3)/2}/{{1+(tanθ)^2}(cosθ)^2}}dθ
=(2/√3)∫[π/6→π/3]dθ
=π/(3√3)
となります。

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■43823 / inTopicNo.8)

　Re[2]: 積分の計算・・・

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□投稿者/ sky 一般人(6回)-(2011/06/11(Sat) 16:55:52)

そうだったんですか！定積分だと解ける・・・
最後まで計算していただきありがとうございましたm(__)m

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■43825 / inTopicNo.9)

　Re[3]: 積分の計算・・・

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□投稿者/ sky 一般人(7回)-(2011/06/11(Sat) 23:07:07)

大変申し訳ないのですが、arctanを使った不定積分の答えを教えてくれませんでしょうか？理解出来ないと言われたらそうなのですが、どうしても気になってしまって・・・

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■43829 / inTopicNo.10)

　Re[4]: 積分の計算・・・

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□投稿者/ X 付き人(84回)-(2011/06/13(Mon) 13:23:35)

2011/06/13(Mon) 13:28:05 編集(投稿者)

(1/2)∫dx/(x^2+x+1)
=(1/2)∫dx/{(x+1/2)^2+x+3/4}
=(2/3)∫dx/{1+{(2/√3)(x+1/2)}^2}
=(1/√3)arctan{(2/√3)(x+1/2)}+C (C:任意定数)
∴∫{x/(1-x^3)}dx
=-(1/3)log|1-x|-(1/6)log(x^2+x+1)+(1/√3)arctan{(2/√3)(x+1/2)}+C
(C:任意定数)
となります。

注)
∫dx/(1-x)=-log|1-x|+C (C:任意定数)
です。

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