数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 積分計算 / Page: 0]

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■43761 / inTopicNo.1)

　積分計算

□投稿者/ mitti 一般人(6回)-(2011/05/31(Tue) 23:01:18)

∫[0→1]dx/(x^2+x+1)^3の計算で、x=(√3/2)t-1/2と置換しています。これは公式なのですか。x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4で何となくそれらしき形は出てきますが・・・
　公式であるのならば、それを教えてください。

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■43763 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分計算

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□投稿者/ bad 一般人(1回)-(2011/06/01(Wed) 19:18:35)

置換法が公式だということではなく, $2$\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\,\arctan \,\frac{x}{a}$ あるいは $2$\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+1}=\arctan \,x$ を既知として, それに帰着しているのでしょう.

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■43768 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 積分計算

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□投稿者/ mitti 一般人(7回)-(2011/06/03(Fri) 08:06:03)

■No43763に返信(badさんの記事)
> 置換法が公式だということではなく, $2$\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\,\arctan \,\frac{x}{a}$ あるいは $2$\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+1}=\arctan \,x$ を既知として, それに帰着しているのでしょう.

高校生向けの問題集なので違うと思うのですが・・・

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■43769 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 積分計算

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□投稿者/ X 付き人(72回)-(2011/06/03(Fri) 09:23:49)

2011/06/03(Fri) 09:50:42 編集(投稿者)

ではbadさんの説明に補足する形で。

例えば
∫[0→1]dx/(x^2+1) (A)
を計算するときは
x=tanθ
と置き換えると計算できますよね？
そこで問題の積分を(A)に似たような形に持って行きます。
∫[0→1]dx/(x^2+x+1)^3
=∫[0→1]dx/{(x+1/2)^2+3/4}^3
={(4/3)^3}∫[0→1]dx/{{(2/√3)(x+1/2)}^2+1}^3 (B)
ここで
(2/√3)(x+1/2)=t (C)
と置くと
∫[0→1]dx/(x^2+x+1)^3
={(4/3)^3}∫[1/√3→√3]dt/(t^2+1)^3
で更に
t=tanθ
と置くと…。
というような方針が続きます。

ここでの(C)が質問にあげられた
>>x=(√3/2)t-1/2
に当たります。((C)をxについて解いてみましょう)
つまりこれは公式でもなんでもなく、(A)の計算の方針に習った方針を使うための
前段階の変換に過ぎません。
重要なのは(B)のように分母を平方完成の形に持っていことで、別に(C)のような
変換を使わなくても(B)からいきなり
(2/√3)(x+1/2)=tanθ
と置き換えても問題ありません。

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■43773 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 積分計算

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□投稿者/ bad 一般人(2回)-(2011/06/03(Fri) 15:34:40)

2011/06/03(Fri) 15:38:03 編集(投稿者)

■No43768に返信(mittiさんの記事)
> ■No43763に返信(badさんの記事)
> 高校生向けの問題集なので違うと思うのですが・・・
残念ながら, 違いません. 定積分なら $2$\tan$ で置換したものを元に戻さないで済むので, 見かけ上 $2$\arctan$ に触れていないように感じるだけです. $2$x=\tan \,\theta\Leftrightarrow\theta=\arctan \,x$

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■43774 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 積分計算

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□投稿者/ mitti 一般人(8回)-(2011/06/03(Fri) 21:51:56)

■No43769に返信(Xさんの記事)
> 2011/06/03(Fri) 09:50:42 編集(投稿者)
>
> ではbadさんの説明に補足する形で。
>
> 例えば
> ∫[0→1]dx/(x^2+1) (A)
> を計算するときは
> x=tanθ
> と置き換えると計算できますよね？
> そこで問題の積分を(A)に似たような形に持って行きます。
> ∫[0→1]dx/(x^2+x+1)^3
> =∫[0→1]dx/{(x+1/2)^2+3/4}^3
> ={(4/3)^3}∫[0→1]dx/{{(2/√3)(x+1/2)}^2+1}^3 (B)
> ここで
> (2/√3)(x+1/2)=t (C)
> と置くと
> ∫[0→1]dx/(x^2+x+1)^3
> ={(4/3)^3}∫[1/√3→√3]dt/(t^2+1)^3
> で更に
> t=tanθ
> と置くと…。
> というような方針が続きます。
>
> ここでの(C)が質問にあげられた
> >>x=(√3/2)t-1/2
> に当たります。((C)をxについて解いてみましょう)
> つまりこれは公式でもなんでもなく、(A)の計算の方針に習った方針を使うための
> 前段階の変換に過ぎません。
> 重要なのは(B)のように分母を平方完成の形に持っていことで、別に(C)のような
> 変換を使わなくても(B)からいきなり
> (2/√3)(x+1/2)=tanθ
> と置き換えても問題ありません。

ありがとうございました。解決です！

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