 | 2011/05/30(Mon) 21:20:05 編集(投稿者)
大学受験生です。はじめまして。よろしくお願いします。
aを定数、nを自然数とし、
In（アイエヌ、数列）= ∮[a → a + 1/n] xcos^2(x-a)dx とする。
lim[n→∞]n*Inを求めよ。 （早稲田大）
「天空への理系数学（荻野暢也）」という書籍の問題です。
本の中では積分の平均値の定理を使って、lim[n→∞]n*In = a になることが求められていますが、普通に積分しても出来るのでしょうか？
（積分の平均値の定理を使う方法はわかりました）
自分がやってみると、
∮xcos^2(x-a) dx = ∮x*1/2{cos2(x-a) + 1}dx
ここで部分積分より、∮xcos2(x-a)dx = 1/2{xsin2(x-a) - ∮sin2(x-a)dx}だから、
In = 1/4[xsin2(x-a) + 1/2cos2(x-a) + x^2][a → a + 1/n]
= 1/4{(a + 1/n)sin2/n + 1/2(cos2/n - 1) + 2a/n + 1/n^2}
n*In = 1/4{(na + 1)sin2/n + n/2cos2/n - n/2 + 2a + 1/n}
ここで、cos2/n = ±√(1 - sin^2 2/n) より、…
と、極限の計算に持っていきたいのですが、
∞に飛ぶものが出てきてしまっているように思えます。
どこが間違っているのでしょうか。
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