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■43748 / inTopicNo.1)

　微分

□投稿者/ n 一般人(12回)-(2011/05/30(Mon) 17:02:52)

いつもお世話になっております。

曲線 $2$y=x^4-2x^3-3x^2$ 上の点 $2$P(-1,0)$ における接線は、この曲線と他の1点でも
接することを示せ。

という問題なのですが、点 $2$P(-1,0)$ における接線の方程式は $2$y=-4x-4$ ・・・・・・①
として、この接線と曲線が再び交わる点における接線が①と一致することを示すという事までは分かっているのですが、そこからどう解いたらいいのかわかりません。

どなたか教えていただけませんでしょうか。よろしくお願いします。

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■43749 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分

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□投稿者/ シャロン一般人(28回)-(2011/05/30(Mon) 17:48:28)

■No43748に返信(nさんの記事)
> いつもお世話になっております。
>
> 曲線 $2$y=x^4-2x^3-3x^2$ 上の点 $2$P(-1,0)$ における接線は、この曲線と他の1点でも
> 接することを示せ。
>
> という問題なのですが、点 $2$P(-1,0)$ における接線の方程式は $2$y=-4x-4$ ・・・・・・①
> として、この接線と曲線が再び交わる点における接線が①と一致することを示すという事までは分かっているのですが、

ほぼ答えです。
必要なら、 $2$y=[x$ の $2$4$ 次式 $2$]$ で表される曲線は、1つの直線とは高々2点でしか接しないこと、つまり、接点はそれらに限ることをいえば完璧かと思います。

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■43750 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 微分

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□投稿者/ X 付き人(67回)-(2011/05/30(Mon) 17:50:07)

y=x^4-2x^3-3x^2 (A)
y=-4x-4 (B)
を連立して解き、点P以外の(A)(B)との交点の座標を求めます。
(A)(B)より
x^4-2x^3-3x^2=-4x-4
x^4-2x^3-3x^2+4x+4=0 (C)
ここで(C)はx=-1を解として持つので因数定理により
(C)の左辺はx+1で割り切れます。
よって(C)の左辺を因数分解すると…。

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■43753 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 微分

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□投稿者/ n 一般人(13回)-(2011/05/30(Mon) 22:52:25)

皆様ご返信ありがとうございます。
> よって(C)の左辺を因数分解すると…。
因数分解して $2$(x+1)(x^3-3x^2+4)$ になったのですが、ここから先が分かりません。
どうかもう少し教えて頂けませんでしょうか。よろしくお願いします。

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■43755 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 微分

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□投稿者/ X 付き人(69回)-(2011/05/31(Tue) 06:52:10)

g(x)=x^3-3x^2+4
と置くと
g(-1)=0
ですのでg(x)も又x+1を因数に持ちます。よって…

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■43756 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 微分

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□投稿者/ n 一般人(14回)-(2011/05/31(Tue) 10:01:06)

ご返信ありがとうございます。
$2$(x+1)(x^3-3x^2+4)=(x^2+2x+1)(x^2-4x+4)$ (D)となり、(D)=0とおくと x=-1,2
よって曲線 $2$y=x^4-2x^3-3x^2$ 上の点Ｑ(2,-12)における接線の方程式は
$2$y=-4x-4$ で、これは①と一致する。
よって題意は満たされた。

・・・これで正解かと思います。
教えてくださった皆様、本当にありがとうございました。

解決済み!

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