数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[7]: 極大値と極小値の和 / Page: 0]

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■43697 / inTopicNo.1)

　極大値と極小値の和

□投稿者/ n 一般人(6回)-(2011/05/13(Fri) 08:12:22)

aは0でない定数とする。関数 $2$f(x)=x^3+3ax^2+2a^2x$ について $2$f(x)$ の極大値と極小値の和を求めよ。
という問題で、解答は0になり、解説には $2$\alpha +\beta =-2a,\alpha \beta =\frac{2}{3}a^2$
とありましたが、なぜそうなるのか、また、この問題について解き方が分からず
困っています。

どなたか教えて頂けませんでしょうか。よろしくお願いします。

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■43698 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極大値と極小値の和

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□投稿者/ X 付き人(63回)-(2011/05/13(Fri) 15:54:26)

xの二次方程式f'(x)=0の解をα、β (A)
とすると題意から
f(α)、f(β)の一方が極大値、他方が極小値
ですので問題は(A)のときに
f(α)+f(β)
の値を求めることに帰着します。
ここで(A)により解と係数の関係から…。

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■43699 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 極大値と極小値の和

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□投稿者/ n 一般人(7回)-(2011/05/13(Fri) 18:35:39)

ご回答ありがとうございます。
解と係数の関係を考えてみたのですがわかりませんでした。
最後まで教えていただけるととても助かるのですが・・・。

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■43700 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 極大値と極小値の和

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□投稿者/ YO 一般人(1回)-(2011/05/13(Fri) 20:04:43)

解と係数の関係を書いてみればわかるが, $2$f(x)$ からa(およびa^2)は消去できるから $2$f(\alpha),f(\beta)$ は $2$\alpha,\beta$ だけで書ける.大人しく $2$f(\alpha)+f(\beta)$ を計算してみることだな.悩むよりとにかく手を動かすのをサボらないことのほうが解決につながることも多い.

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■43701 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 極大値と極小値の和

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□投稿者/ Z 一般人(1回)-(2011/05/13(Fri) 21:53:13)

α^3+β^3やα^2+β^2はα+βとαβで表せるからf(α)+f(β)はaだけにできる。

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■43708 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 極大値と極小値の和

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□投稿者/ n 一般人(8回)-(2011/05/14(Sat) 15:49:32)

皆様ご回答いただきありがとうございます。
何度もご助力いただいたにもかかわらず $2$f(\alpha )+f(\beta )=-\frac{4a^3\sqrt3+13a^3}{9}$
となってしまい0にはなりませんでした。
解答まで導きたいと頑張っております。どなたかご助力願えませんでしょうか。
よろしくお願いいたします。

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■43710 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 極大値と極小値の和

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□投稿者/ miyup 大御所(1250回)-(2011/05/14(Sat) 18:33:54)

2011/05/14(Sat) 18:51:13 編集(投稿者)

> $2$f(\alpha )+f(\beta )=-\frac{4a^3\sqrt3+13a^3}{9}$

ルートが出てくるような計算はありません。

α^2+β^2＝8/3・a^2、α^3+β^3＝-4a^3　となりましたか？

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■43711 / inTopicNo.8)

　Re[5]: 極大値と極小値の和

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□投稿者/ Z 一般人(3回)-(2011/05/14(Sat) 21:03:48)

計算能力は注意深くかつ無心に計算を繰り返してつけるしかありません。そのためには、何を勘違いしてどう間違ったかということを、きちんと意識する必要がある。にもかかわらず
> 何度もご助力いただいたにもかかわらず $2$f(\alpha )+f(\beta )=-\frac{4a^3\sqrt3+13a^3}{9}$
> となってしまい0にはなりませんでした。
のように、もっとも肝心の「なってしま」うまでの過程を省略して提示しないというのでは、何もチェックできないですし、どこにも益を生みません。

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■43712 / inTopicNo.9)

　Re[6]: 極大値と極小値の和

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□投稿者/ n 一般人(9回)-(2011/05/14(Sat) 21:09:37)

ご返信ありがとうございます。

たしかに $2$\alpha ^2+\beta ^2=\frac{8}{3}a^2$ , $2$\alpha ^3+\beta ^3=-4a^3$ となりますが
私の計算方法がおかしいのですね。
$2$\alpha =-a+\frac{2a\sqrt3}{6},\beta =-a-\frac{2a\sqrt3}{6}$ として、これを
$2$f(x)=x^3+3ax^2+2a^2x$ に代入して $2$f(\alpha )+f(\beta )$ を計算したのですが・・・。

引き続きご指導いただけるとありがたいのですが・・・。

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■43713 / inTopicNo.10)

　Re[6]: 極大値と極小値の和

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□投稿者/ n 一般人(10回)-(2011/05/14(Sat) 22:22:45)

■No43711に返信(Zさんの記事)
> 計算能力は注意深くかつ無心に計算を繰り返してつけるしかありません。そのためには、何を勘違いしてどう間違ったかということを、きちんと意識する必要がある。にもかかわらず
>>何度もご助力いただいたにもかかわらず $2$f(\alpha )+f(\beta )=-\frac{4a^3\sqrt3+13a^3}{9}$
>>となってしまい0にはなりませんでした。
> のように、もっとも肝心の「なってしま」うまでの過程を省略して提示しないというのでは、何もチェックできないですし、どこにも益を生みません。

ｚさん、大変思慮深いお返事ありがとうございます。
私は以下のように計算しました。
まず、 $2$\alpha =-a+\frac{2a\sqrt3}{6},\beta =-a-frac{2a\sqrt3}{6}$ とし、
$2$f(\alpha )=(-a+frac{2a\sqrt3}{6})^3+3a(-a+\frac{2a\sqrt3}{6})^2+2a^2(-a+\frac{2a\sqrt3}{6})$
$2$=-a^3-\frac{2a^3\sqrt3}{6}+\frac{4a^3}{9}+3a^3-\frac{12a^3\sqrt3}{6}+a^3-2a^3+\frac{4a^3\sqrt3}{6}$
$2$=a^3-\frac{10a3\sqrt3}{6}+\frac{4a^3}{9}$

$2$f(\beta )=(-a-\frac{2a\sqrt3}{6})^3+3a(-a-\frac{2a\sqrt3}{6})^2+2a^2(-a-\frac{2a\sqrt3}{6})$
$2$=-2a^3-\frac{4a^3\sqrt3}{36}+4a^3+2a^3\sqrt3-2a^3-\frac{2a^3\sqrt3}{3}$
$2$=\frac{11a3\sqrt3}{9}$

$2$f(\alpha )+f(\beta )=a^3-\frac{10a^3\sqrt3}{6}+\frac{4a^3}{9}+\frac{11a^3\sqrt3}{9} =a^3-\frac{4a3\sqrt3+4a^3}{9}$

再計算してみたら、こうなりました。

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■43714 / inTopicNo.11)

　Re[7]: 極大値と極小値の和

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□投稿者/ Z 一般人(4回)-(2011/05/15(Sun) 00:04:47)

すまない、全面的にｲ奄が悪かった。

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■43715 / inTopicNo.12)

　Re[7]: 極大値と極小値の和

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□投稿者/ miyup 大御所(1251回)-(2011/05/15(Sun) 09:15:58)

2011/05/15(Sun) 09:32:15 編集(投稿者)

■No43712に返信(nさんの記事)
> $2$\alpha =-a+\frac{2a\sqrt3}{6},\beta =-a-\frac{2a\sqrt3}{6}$ として、これを
　　　↑これが原因。

解と係数の関係を使うというのは
　解α,βを直接代入しない＝>計算が簡単になる（間違いにくくなる）
というメリットを生かすということです。

$2$f(\alpha )+f(\beta )$
$2$=\alpha ^3+3a\alpha ^2+2a^2\alpha +\beta ^3+3a\beta ^2+2a^2\beta$
$2$=(\alpha ^3+\beta ^3)+3a(\alpha ^2+\beta ^2)+2a^2(\alpha +\beta )$

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■43717 / inTopicNo.13)

　Re[8]: 極大値と極小値の和

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□投稿者/ n 一般人(11回)-(2011/05/15(Sun) 15:39:09)

ご返信ありがとうございます。
ようやく解答に導くことができました。
これまで教えて頂いた皆様には大変感謝しております。
本当にありがとうございました。

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