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■4358 / inTopicNo.1)

　不等式

▼■

□投稿者/ mikiko 一般人(3回)-(2005/10/03(Mon) 08:50:03)

こんにちは。どなたかこの問題を教えてください。

3つの実数a、b、cがａ＋ｂ＋ｃ＝１を満たすとき、ａの2乗＋ｂの2乗＋ｃの2乗＞1/3であることをしめせ。
（＞には＝もつきます）

この問題がわかりません。お願いします。

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■4359 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 不等式

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□投稿者/ X ベテラン(213回)-(2005/10/03(Mon) 09:31:26)

2005/10/03(Mon) 09:39:32 編集(投稿者)

≧
ですが「ふとうごう」を変換すれば出ますよ。

で問題の回答ですが
空間図形的に考えれば以下のようになります。

a,b,cを三次元の直交座標の軸に取ると
a+b+c=1
つまり
a+b+c-1=0 (A)
は平面を表し
a^2+b^2+c^2 (B)
は(A)上の点と原点との間の距離の二乗を表します。
ここで平面(A)と原点との間の距離をLとすると点と平面との距離の公式より
L=|0+0+0-1|/√(1^2+1^2+1^2)=1/√3 (C)
よって
a^2+b^2+c^2≧L^2=1/3
但し不等号の下の等号は
点(a,b,c)と原点を結ぶ直線(mとします)が(A)と直交するとき (D)
成立します。
ここで(A)の法線ベクトルは(1,1,1)ですから、(D)のとき
m:a/1=b/1=c/1 (E)
(A)(E)を連立して解き
a=b=c=1/3
よってa=b=c=1/3のとき、不等号の下の等号は成立します。

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■4360 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 不等式

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□投稿者/ moomin 付き人(72回)-(2005/10/03(Mon) 10:32:56)
http://user.ecc.u-tokyo.ac.jp/~g441069/HP/

■No4359に返信(Xさんの記事)

横から失礼します。

Remark：
コーシー・シュワルツの不等式
(x・y)^2≦|x|^2・|y|^2
を知っていれば
x=(a,b,c)
y=(1,1,1)
として適用すれば解くことが出来ます。

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■4361 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 不等式

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□投稿者/ mikiko 一般人(4回)-(2005/10/03(Mon) 11:47:37)

a+b+c=1の形をかえて、c=1-（a+b)とおいて、代入してみたんですが
２（a+b-1/2)の2乗＋3/2(b-1/3)の2乗≧０　となったんですがそのあとどう証明したらいいでしょうか。

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■4362 / inTopicNo.5)

　解けました

▲▼■

□投稿者/ mikiko 一般人(5回)-(2005/10/03(Mon) 12:08:39)

すいません。解くことができました。
ありがとうございます。

解決済み!

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