数学ナビゲーター掲示板
(現在 過去ログ4 を表示中)

HOME HELP 新規作成 新着記事 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■43570 / inTopicNo.1) 　整式の除法
  ▼■
□投稿者/ army 一般人(1回)-(2011/03/24(Thu) 12:11:40)
    こんにちは、いつもお世話になっております。
    以下の問題を自分で解いたのですが、その考え方を簡単に書きましたので、
    どこかに欠陥が無いか判定して頂けないでしょうか。


    整式f(x)を(x+1)^2で割ると2x+4余り、x^2+2で割ると3x-1である。
    この時、f(x)を(x+1)(x^2+2)で割ったときと、(x+1)^2*(x^2+2)で割ったときの
    それぞれの余りを求めよ。


    まずf(x)を(x+1)(x^2+2)で割ったときの余りについて。取り敢えず

    f(x)＝P(x+1)^2+2x+4 　　　　　 ・・・・・A
    f(x)＝Q(x^2+2)+3x-1　　　　　　　・・・・・B
    f(x)＝R(x+1)(x^2+2)＋ax^2+bx+c 　・・・・・C

    という3つの式が書けると思います。ax^2+bx+cが求める余りを表しています。
    C式において、ax^2+bx+c＝(x^2+2)a+bx-2a+cを代入すると

    f(x)＝(x^2+2){R(x+1)+a}＋bx-2a+c ・・・・・D

    となり、しきBと比較してb＝3、-2a+c＝-1を得る。また、Aよりf(-1)＝2から、
    Cと併せて2＝a-b+c。以上3式よりaとbとcが求まる。


    以上のような考え方です。後半の、(x+1)^2*(x^2+2)で割る場合も同様に出来るか
    と思って解きました。C式に対応する式が

    f(x)＝S(x+1)^2*(x^2+2)＋ax^3+bx^2+cx+d ・・E

    となり、未知数は4つになります。f(-1)を代入してまず1つめの式を得ます。
    次にEのax^3+bx^2+cx+dを

    ax^3+bx^2+cx+d＝(x^2+2)(ax+b)-2b+d-2ax+cx　　　　　　　　・・・F
    ax^3+bx^2+cx+d＝(x+1)^2*(ax+b-2a)-a+b-c+d+(1+x)(3a-2b+c) ・・・G

    と変形してEにそれぞれ代入し、A、Bとそれぞれ係数比較するというやり方です。
    まだきちんと確かめていないのですが、この後半の問いについては、未知数4つ
    に対して式が5つ出てきてしまいますよねf(-1)＝2というものと、「BとF」「AとG」それぞれの係数比較で得られる式です。ここで詰まっております。どこに誤りがあるのか分かる方、指摘してただけないでしょうか。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■43571 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 整式の除法
□投稿者/ X 付き人(55回)-(2011/03/24(Thu) 14:52:35)
    2011/03/24(Thu) 15:00:44 編集(投稿者)

    f(-1)=2の条件は使う必要がありません。
    f(-1)=2によって導かれるa,b,c,dについての方程式を(P)
    GをEに代入した式とAとの係数比較によるa,b,c,dについての２つの方程式を(Q)(R)
    とすると,
    (Q)(R)⇔f(x)を(x+1)^2で割った余りが2x+4⇒f(-1)=2⇔(P)
    ですので(Q)(R)から(P)は必ず導かれます。
    (実際に計算で確かめてみて下さい。)
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■43572 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 整式の除法
□投稿者/ army 一般人(2回)-(2011/03/24(Thu) 21:25:43)
    ■No43571に返信(Xさんの記事)
    > 2011/03/24(Thu) 15:00:44 編集(投稿者)
    >
    > f(-1)=2の条件は使う必要がありません。
    > f(-1)=2によって導かれるa,b,c,dについての方程式を(P)
    > GをEに代入した式とAとの係数比較によるa,b,c,dについての２つの方程式を(Q)(R)
    > とすると,
    > (Q)(R)⇔f(x)を(x+1)^2で割った余りが2x+4⇒f(-1)=2⇔(P)
    > ですので(Q)(R)から(P)は必ず導かれます。
    > (実際に計算で確かめてみて下さい。)

    Xさん、ありがとうございました。たしかに、吟味すれば当たり前のことでした。
    岡目八目でありました。感謝致します。

解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/


トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

Mode/　 Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター