数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 連立方程式の解の存在条件 / Page: 0]

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■43491 / inTopicNo.1)

　連立方程式の解の存在条件

□投稿者/ Math70 一般人(3回)-(2011/02/22(Tue) 20:37:48)

いつもお世話になっております。

$2$ x$ , $2$ y$ , $2$ z$ は実数であり、
　　 $2$ \begin{cases} x = y (3 - 4 y ^2) \\ y = z (3 - 4 z ^2) \\ z = x (3 - 4 x ^2) \end{cases}$
が常に成り立っている。
このとき、 $2$ | x | \leq 1$ を証明せよ。

という問題ですが、よく分かりません。
お願いします。

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■43492 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 連立方程式の解の存在条件

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□投稿者/ らすかる大御所(1001回)-(2011/02/22(Tue) 22:20:22)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

|x|＞1 と仮定すると
3-4x^2＜-1 なので |z|=|x||3-4x^2|＞|x|
同様に |z|＞1 なので |y|＞|z|、|y|＞1 なので |x|＞|y| となり、
|x|＞|y|＞|z|＞|x| となるので矛盾。

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■43494 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 連立方程式の解の存在条件

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□投稿者/ miyup 大御所(1237回)-(2011/02/22(Tue) 23:57:14)

2011/02/23(Wed) 00:01:00 編集(投稿者)

■No43491に返信(Math70さんの記事)
> $2$ x$ , $2$ y$ , $2$ z$ は実数であり、
> 　　 $2$ \begin{cases} x = y (3 - 4 y ^2) \\ y = z (3 - 4 z ^2) \\ z = x (3 - 4 x ^2) \end{cases}$
> が常に成り立っている。
> このとき、 $2$ | x | \leq 1$ を証明せよ。

余談ですが、この３式が三角関数の三倍角の公式に見えます。

|x|≦1（実際は|x|＜1）であるから x＝sinθ とおくと
下から順番に z＝sin3θ、y＝sin9θ、x＝sin27θとなって
sin27θ＝sinθを満たすθにより、連立方程式の解が作れます。

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