 | 2010/12/19(Sun) 16:22:10 編集(投稿者)
点Pから底面に下ろした垂線の足をHとすると
△PAH,△PBH,△PCHは直角三角形であり、又
PA=PB=PC=4
∴△PAH≡△PBH≡△PCH
∴AH=BH=CH
となるのでAHは△ABCの外接円Uの半径(つまりU,Hは一致します)です。
そこでUの半径をRとすると△PAHに注目して
tan∠PAU＝√3/2
を使うことにより
R=AH=PAcos∠PAU=… (A)
一方半角の公式により
(sin∠BAC)^2=(1-cos(2∠BAC))/2
となりますが、△ABCが鋭角三角形であることと円周角により
∠BUC=2∠ABC
∴(sin∠BAC)^2=(1-cos(∠BUC))/2
=(1-1/8)/2=7/16
∴sin∠BAC=√7/4 (B)
(A)(B)から正弦定理により
BC=… (C)
更に(A)と
CA=5 (D)
であることからやはり正弦定理により
sin∠ABC=…
残りはABの長さですが、(B)と△ABCが鋭角三角形であることより
cos∠BAC=√{1-(sin∠BAC)^2}=3/4 (E)
ということと(C)(D)により、∠BACに注目した余弦定理を用いることで
ABの長さについての方程式を立てて解きます。
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