| 2010/12/19(Sun) 16:22:10 編集(投稿者)
点Pから底面に下ろした垂線の足をHとすると △PAH,△PBH,△PCHは直角三角形であり、又 PA=PB=PC=4 ∴△PAH≡△PBH≡△PCH ∴AH=BH=CH となるのでAHは△ABCの外接円Uの半径(つまりU,Hは一致します)です。 そこでUの半径をRとすると△PAHに注目して tan∠PAU=√3/2 を使うことにより R=AH=PAcos∠PAU=… (A) 一方半角の公式により (sin∠BAC)^2=(1-cos(2∠BAC))/2 となりますが、△ABCが鋭角三角形であることと円周角により ∠BUC=2∠ABC ∴(sin∠BAC)^2=(1-cos(∠BUC))/2 =(1-1/8)/2=7/16 ∴sin∠BAC=√7/4 (B) (A)(B)から正弦定理により BC=… (C) 更に(A)と CA=5 (D) であることからやはり正弦定理により sin∠ABC=… 残りはABの長さですが、(B)と△ABCが鋭角三角形であることより cos∠BAC=√{1-(sin∠BAC)^2}=3/4 (E) ということと(C)(D)により、∠BACに注目した余弦定理を用いることで ABの長さについての方程式を立てて解きます。
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