 | > 動径が何回転しても
> 同じなのであれば、
> 何故最初から
> aθ=(π/2)-(θ/3)
> だけにしないのですか?
２つの角度 aθ と (π/2 - θ/3) が一致して、３点 O, P, Q が一直線に並ぶことを問題にしているわけですが、角度 aθ の増加の仕方と (π/2 - θ/3) の増加の仕方は同じとは限りません。
つまり、回転の速さが同じとは限らないということで、これは回転の周期が同じとは限らないことにもなり、さらには回転の向きが同じとも限りません。
つまり、あるとき、aθ = (π/2 - θ/3) と一致したとして（回転の向きも同じとして）、これがともに１回転後に再びめでたく、aθ + 2π = (π/2 - θ/3) + 2π になるとは限らないわけです。
これは次の例を考えればわかるでしょう。簡単のため、角度を簡単にθとφとして、少し問題を変えます。
点 P の回転の速さを１秒間に360度として、点 Q の回転の速さを１秒間に180度とします。
ある時刻で、点 P のなす角度である θ と点 Q のなす角度である φ が一致していたとします。（回転の向きも同じとします）
この一致した角度を仮に30度とします。
この一致した時刻を t = 0 とすると、１秒後の t = 1 では、
θ = 30 + 360 = 390 (= 30 + 1*360 = 30)
φ = 30 + 180 = 210
となり、２秒後の t = 2 では、
θ = 390 + 360 = 750 (= 30 + 2*360 = 30)
φ = 210 + 180 = 390 (= 30 + 1*360 = 30)
となります。
これは、点 P は２回転したとき、点 Q は１回転したとき、同じ時刻 t = 2 で再び角度が一致するわけです。
つまり、t = 2 のときに、
θ + 1*2π = φ + 2*2π
なので、この左辺の 1*2πを右辺に移項すると、
θ = φ + 1*2π
となります。
これは式①で、n = 1 の場合に相当します。
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