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■42968 / inTopicNo.1)

　線積分∫(x+iy)dz について

□投稿者/ だいき一般人(3回)-(2010/11/08(Mon) 15:37:32)

線積分∫(x+iy)dz について
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)とすると、
∫f(z)dz=∫u(x,y)dx-∫v(x,y)dy+i∫u(x,y)dy+i∫v(x,y)dx であるから、
∫(x+iy)dz=∫xdx-∫ydy+i∫xdy+i∫ydx=1/2x^2-1/2y^2+ixy+ixy=1/2(x^2-y^2)+2ixy・・・(1)
一方、z=x+iyとすると、∫(x+iy)dz=∫zdz=1/2z^2=1/2(x+iy)^2=1/2(x^2-y^2)+ixy・・・(2)
となり、(1)と(2)で一致しません。
どこか違っているのでしょうか？アドバイスいただければと思います。

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■42974 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 線積分∫(x+iy)dz について

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□投稿者/ NGL 一般人(3回)-(2010/11/08(Mon) 21:21:51)

原点 $2$(0, \ 0)$ を始点として終点 $2$(1, \ 1)$ までの線積分を、
① $2$x$ 軸に沿って $2$(0, \ 0)$ から $2$(1, \ 0)$ まで移動して、次に $2$y$ 軸に沿って $2$(1, \ 0)$ から $2$(1, \ 1)$ まで移動
② $2$y$ 軸に沿って $2$(0, \ 0)$ から $2$(0, \ 1)$ まで移動して、次に $2$x$ 軸に沿って $2$(0, \ 1)$ から $2$(1, \ 1)$ まで移動
③ 直線 $2$y = x$ に沿って $2$(0, \ 0)$ から $2$(1, \ 1)$ まで移動
という、３通りの積分経路で考えます。

まず、 $2$x$ 軸に沿う区間では、①では $2$y = 0$ に固定で②では $2$y = 1$ に固定となり、
$2$y$ 軸に沿う区間では、①では $2$x = 1$ に固定で②では $2$x = 0$ に固定になります。

積分は、
$2$\displaystyle\int z dz = \displaystyle\int (x + i y) (dx + i dy) = \displaystyle\int (x dx - y dy) + i \displaystyle\int (x dy + y dx)$
で考えると、

①
$2$x$ 軸に沿う区間
$2$\displaystyle\int (x dx - y dy) = \displaystyle\int (x dx - 0 \cdot 0) = \displaystyle\int_{0}^{1} x dx = \frac{1}{2}$
$2$\displaystyle\int (x dy + y dx) = \displaystyle\int (x \cdot 0 + 0 \cdot dx) = 0$
$2$y$ 軸に沿う区間
$2$\displaystyle\int (x dx - y dy) = \displaystyle\int (1 \cdot 0 - y dy) = - \displaystyle\int_{0}^{1} y dy = - \frac{1}{2}$
$2$\displaystyle\int (x dy + y dx) = \displaystyle\int (1 \cdot dy + y \cdot 0) = \displaystyle\int_{0}^{1} 1 \ dy = 1$
$2$\therefore \ \ \ \displaystyle\int z dz = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 \cdot i = i$

②
$2$y$ 軸に沿う区間
$2$\displaystyle\int (x dx - y dy) = \displaystyle\int (0 \cdot 0 - y dy) = - \displaystyle\int_{0}^{1} y dy = - \frac{1}{2}$
$2$\displaystyle\int (x dy + y dx) = \displaystyle\int (0 \cdot dy + y \cdot 0) = 0$
$2$x$ 軸に沿う区間
$2$\displaystyle\int (x dx - y dy) = \displaystyle\int (x dx - 1 \cdot 0) = \displaystyle\int_{0}^{1} x dx = \frac{1}{2}$
$2$\displaystyle\int (x dy + y dx) = \displaystyle\int (x \cdot 0 + 1 \cdot dx) = \displaystyle\int_{0}^{1} 1 \ dx = 1$
$2$\therefore \ \ \ \displaystyle\int z dz = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 \cdot i = i$

③
$2$y = x$ なので、
$2$\displaystyle\int (x dx - y dy) = \displaystyle\int (x dx - x dx) = 0$
$2$\displaystyle\int (x dy + y dx) = \displaystyle\int (x dx + x dx) = \displaystyle\int_{0}^{1} 2 x dx = 1$
$2$\therefore \ \ \ \displaystyle\int z dz = 0 + 1 \cdot i = i$

となり、３通りの積分経路とも同じ結果になりますが、
実数部分の積分 $2$\displaystyle\int (x dx - y dy)$ と虚数部分の積分 $2$\displaystyle\int (x dy + y dx)$ のそれぞれの各項は、
①から③のどの場合も等しく積分に寄与するわけではありません。
例えば①では、 $2$x$ 軸に沿う区間では、 $2$\displaystyle\int x dy$ という項は計算されませんが、 $2$y$ 軸に沿う区間では $2$\displaystyle\int x dy$ という項は計算されます。
つまり複素積分では、始点と終点を同じとしても、その間の積分経路はいくらでも考えられ、その経路に応じて実際に積分に項が寄与するか否かになりますので、不定積分の形で比較してもあまり意味がありません。

一般に線積分は経路によって値が異なりますが、積分領域で被積分関数が正則であれば、始点と終点が同じなら、経路によらず一致します。
この問題では、被積分関数は $2$f(z) = z = x + i y$ なので、 $2$u(x, \ y) = x, \ v(x, \ y) = y$ の場合で、
$2$u_{x} = v_{y} = 1, \ u_{y} = - v_{x} = 0$ を満たして正則です。
このように被積分関数が正則の場合、実数関数の場合と同様、
$2$\displaystyle\int z dz = \frac{1}{2} z^2$
と一気にしてよく、実数関数の場合と同様、積分の始点と終点を与えるだけで積分結果が得られます。
上の問題では、始点が $2$z = (0, \ 0) = 0 + 0 \cdot i = 0$ で終点が $2$z = (1, \ 1) = 1 + i$ なので、
$2$\displaystyle\int z dz = \frac{1}{2} (1 + i)^2 = i$
となって、
$2$\displaystyle\int (x dx - y dy) + i \displaystyle\int (x dy + y dx)$ で計算した結果と一致します。
つまり正則関数の場合、不定積分の形では一致しなくても、積分経路を定めて定積分を行なうと一致します。

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■42976 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 線積分∫(x+iy)dz について

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□投稿者/ だいき一般人(4回)-(2010/11/08(Mon) 22:16:36)

NGL様大変ありがとうございました。最近複素数について勉強し始め、独学しているところです。またの機会がございましたら、宜しくお願い致します。

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