 | 2010/10/31(Sun) 12:00:16 編集(投稿者)
■No42906に返信(ｋさんの記事)
> AB=a,AD=AE=1である直方体ABCD-EFGHと、直線AGに垂直な平面αがある。
> 頂点B,C,D,E,F,Hからαに下ろした垂線とαとの交点をそれぞれB',C',D',E',F',
> H'とするとき、六角形B'C'D'E'F'H'の面積S(a)をaを用いて表し、
> lim S(a) を求めよ。
> a→∞
六角形は，B'C'D'H'E'F' になるとおもいます。
方針（ベクトルによる）
↑AB=↑b,↑AD=↑d,↑AE=↑e とおく。
↑AG=↑b+↑d+↑e に対して 頂点B,C,D,E,F,Hから下ろした垂線の足を
B'',C'',D'',E'',F'',H'' とおく。
このとき，↑B''B＝↑AB-↑AB''＝↑AB-k↑AG として
↑AG・↑B''B＝0 より ↑AG・(↑AB-k↑AG)＝0, … k＝, … ↑B''B＝, … |↑B''B|＝
以下同様に，↑C''C＝, |↑C''C|＝,↑D''D＝, |↑D''D|＝ と求める。
（対称性より↑E''E＝-↑C''C，↑F''F＝-↑D''D，↑H''H＝-↑B''B）
さらに，↑B''B・↑C''C，↑C''C・↑D''D，↑D''D・↑H''H を求める。
平面αと直線AGの交点をA'とおく。
平面α上の六角形B'C'D'H'E'F'について
△A'B'C'＝1/2・√{|↑B''B|^2|↑C''C|^2-(↑B''B・↑C''C)^2}＝
以下同様に，△A'C'D'＝，△A'D'H'＝ と求める。
このとき，六角形の面積 S(a)＝2(△A'B'C'+△A'C'D'+△A'D'H')＝
よって，lim[a→∞] S(a)＝
lim[a→∞] S(a)＝ 3 になると思います（ちょっと自信なし）。
|
