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■42878 / inTopicNo.1)

　数列の問題

▼■

□投稿者/ みー一般人(13回)-(2010/10/27(Wed) 06:34:52)

おはようございます。
問題と解答は画像のとおりです。
解答が長いので２つにわけさせていただきます。
わからないのは(3)の解説の部分なのですが、
次のレスに書かせて頂きます。
質問がたくさんあって申し訳ないです。

902×768 => 250×212

1288128892.jpg/101KB

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■42879 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列の問題

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□投稿者/ みー一般人(14回)-(2010/10/27(Wed) 06:35:12)

(1)この矢印の過程でどうしてS1からrに変わったのですか。
(2)どうして代入する必要があったのですか。
(3)線を引いた部分はどのように分離してシグマの前に
　 rをもってこれたのですか。
(4)なぜシグマの式がSnに変わったのですか。
(5)この３はどこからきたのですか。
(6)なぜTn-1になるのですか。

以上６つです。よろしくお願い致します。

779×849 => 229×250

1288128912.jpg/89KB

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■42880 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数列の問題

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□投稿者/ miyup 大御所(1185回)-(2010/10/27(Wed) 12:35:53)

2010/10/27(Wed) 12:38:07 編集(投稿者)

■No42879に返信(みーさんの記事)
> (1)この矢印の過程でどうしてS1からrに変わったのですか。
変わっていません。
S[n+1]
=Σ[k=1,n+1]k・r^k
=r+2r^2+3r^3+…+(n+1)r^(n+1)
=r+{2r^2+3r^3+…+(n+1)r^(n+1)} とカッコをつけただけ。
> (2)どうして代入する必要があったのですか。
{　}内の数値は、(k+1)・r^(k+1) のkに 1,2,…,n を代入して並べて足したものだという説明。
> (3)線を引いた部分はどのように分離してシグマの前にrをもってこれたのですか。
Σ[k=1,n]k・r^(k+1)
=Σ[k=1,n]k・r・r^k
=r・Σ[k=1,n]k・r^k
> (4)なぜシグマの式がSnに変わったのですか。
S[n]=Σ[k=1,n]k・r^k だから。
> (5)この３はどこからきたのですか。
ピンク①の最後の式。
> (6)なぜTn-1になるのですか。
{　}内の数値は、T[n](n個の数値の和)における、T[n-1](n-1個の数値の和)と同じもの。

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■42881 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 数列の問題

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□投稿者/ みぎ一般人(4回)-(2010/10/27(Wed) 18:31:35)

2010/10/27(Wed) 19:24:42 編集(投稿者)
2010/10/27(Wed) 18:59:04 編集(投稿者)

miyupさんのと実質同じです。

(1)
まず、
$2$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k r^{k} = r + 2 r^{2} + 3 r^{3} + 4 r^{4} + \cdots + n r^{n}$
です。
そして、
$2$S_{n + 1} = \sum_{k = 1}^{(n + 1)} k r^{k} = r + 2 r^{2} + 3 r^{3} + 4 r^{4} + \cdots + n r^{n} + (n + 1) r^{(n + 1)}$
なので、
$2$S_{n + 1} = S_{n} + (n + 1) r^{(n + 1)}$
となります。
ここで、 $2$S_{n}$ の式で $2$n = 1$ とすると、 $2$S_{1} = \sum_{k = 1}^{1} k r^{k} = 1 \cdot r = r$ となるので、
$2$S_{1} = r$ なので、何も不思議なところはありません。

(2)
解答の「代入する」という文章がむしろ余計でわかりにくくしているのかもしれませんが、これは単に先に示した、
$2$S_{n + 1} = \sum_{k = 1}^{(n + 1)} k r^{k} = r + 2 r^{2} + 3 r^{3} + 4 r^{4} + \cdots + n r^{n} + (n + 1) r^{(n + 1)}$
という式の、 $2$\sum$ という記号が $2$k = 1, \ 2, \ 3, \ \cdots$ として和をとることを言っているだけです。
すぐ上の式の、
$2$r + 2 r^{2} + 3 r^{3} + 4 r^{4} + \cdots + n r^{n} + (n + 1) r^{(n + 1)}$
の２項目から最後までが、解答で $2$\{ \ \ \ \ \}$ 内という部分です。
そしてこの $2$\{ \ \ \ \ \}$ の部分というのが、
$2$\{ \ \ \ \ \} = \sum_{k = 1}^{n} (k + 1) r^{(k + 1)}$
ということを解答の右端の注釈で説明しているわけです。

(3)
これは(1)から続いている、 $2$S_{n + 1} = \sum_{k = 1}^{(n + 1)} k r^{k} = S_{n} + (n + 1) r^{(n + 1)}$ の計算で、
$2$S_{n + 1} = r + \{ 2 r^{2} + 3 r^{3} + \cdots + (n + 1) r^{(n + 1)} \}$
のところの $2$\{ \ \ \ \ \}$ を、(2)で説明したように $2$\sum_{k = 1}^{n} (k + 1) r^{(k + 1)}$ に置き換えて、
$2$= r + \sum_{k = 1}^{n} (k + 1) r^{(k + 1)} = r + \sum_{k = 1}^{n} k r^{(k + 1)} + \sum_{k = 1}^{n} r^{(k + 1)}$ となります。
この最右辺第２項は、
$2$\sum_{k = 1}^{n} k r^{(k + 1)} = r \sum_{k = 1}^{n} k r^{k}$
となって、 $2$r$ をシグマの前に出すことができますが、その理由は $2$r$ 自身は $2$k$ に依存しないからです。

(4)
(3)の続きになりますが、
$2$\sum_{k = 1}^{n} k r^{(k + 1)} = r \sum_{k = 1}^{n} k r^{k} = r S_{n}$ となりますが、
その理由は(1)を見ればわかるように、
$2$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k r^{k}$
と定義しているからです。

(5)
問題の箇所は、 $2$\sum_{k = 1}^{n} C_{k}$ なので、この $2$C_{k}$ は解答①の最後の式
$2$C_{n} = 3 (n - 1) \cdot 2^{(n - 1)} + 1$
を見れば、そこから $2$3$ が来ているのがわかると思います。

(6)
この問題は、最初、数列 $2$\{ a_{n} \}$ を与えて、これから数列 $2$\{ b_{n} \}$ を定義し、さらに数列 $2$\{ C_{n} \}$ を定義して、
$2$\{ C_{n} \}$ の和、 $2$\sum_{k = 1}^{n} C_{k}$ を求めようとする問題です。

$2$\sum_{k = 1}^{n} C_{k} = \sum_{k = 1}^{n} \{ 3 (k - 1) \cdot 2^{(k - 1)} + 1 \} = 3 \sum (k - 1) \cdot 2^{(k - 1)} + \sum 1$
の式の右辺第１項に注目すると、これは、
$2$\sum k r^{k}$
という計算と同じ形をしているのに気づくはずです。
（ $2$r = 2$ の場合で、 $2$(k - 1)$ が $2$k$ になっていますが）
それでこの $2$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k r^{k}$ が、解答③の③式として、
$2$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k r^{k} = n r^{(n + 1)}/(r - 1) + \{ - r^{(n + 1)} + r \}/(r - 1)^2$
になると記されています。
この問題では $2$r = 2$ の場合なので、式③で $2$r = 2$ とすると式④、
$2$T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k \cdot 2^{k} = (n - 1) \cdot 2^{(n + 1)} + 2$
が得られます。
これを先の式に代入すると、
$2$\sum_{k = 1}^{n} C_{k} = 3 \sum_{k = 1}^{n} (k - 1) \cdot 2^{(k - 1)} + \sum_{k = 1}^{n} 1$
で、右辺第２項は $2$n$ となり、右辺第１項は $2$T_{n}$ を求める際の式で $2$k$ を $2$(k - 1)$ にしたのと同じです。
つまり、
$2$T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k \cdot 2^{k} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + \cdots + (n - 1) \cdot 2^{(n - 1)} + n \cdot 2^{n}$
であり、
$2$\sum_{k = 1}^{n} (k - 1) \cdot 2^{(k - 1)} = 0 \cdot 2^{0} + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + \cdots + (n - 1) \cdot 2^{(n - 1)}$
$2$= 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + \cdots + (n - 1) \cdot 2^{(n - 1)} = T_{n - 1}$
となるわけです。
つまり、 $2$n$ ではなく $2$(n - 1)$ までになるので。

以上が解答に沿った説明ですが、
最後の $2$T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k \cdot 2^{k}$ のとき、 $2$\sum_{k = 1}^{n} (k - 1) \cdot 2^{(k - 1)} = T_{n - 1}$ は、次のようにも示せます。
$2$(k - 1) = L$ とすると、 $2$k = (L + 1)$ であり、 $2$k = 1$ のとき $2$L = 0$ 、 $2$k = n$ のとき $2$L = (n - 1)$ です。
よって、
$2$\sum_{k = 1}^{n} (k - 1) \cdot 2^{(k - 1)} = \sum_{L = 0}^{(n - 1)} L \cdot 2^{L} = 0 \cdot 2^{0} + \sum_{L = 1}^{(n - 1)} L \cdot 2^{L}$
となるので、 $2$L = 0$ のときの先頭の項はゼロ、残りは、
$2$\sum_{L = 1}^{(n - 1)} L \cdot 2^{L} = \sum_{k = 1}^{(n - 1)} k \cdot 2^{k} = T_{n - 1}$
となります。
ここで、和をとるときの文字は、 $2$L$ でも $2$k$ でも、その他でもかまわないことに注意です。

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■42883 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 数列の問題

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□投稿者/ BOO 一般人(2回)-(2010/10/27(Wed) 20:24:25)

■No42881に返信(みぎさんの記事)
tokoroさん、御自分の言葉どおり引退しましょうよ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■42887 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 数列の問題

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□投稿者/ みぎ一般人(5回)-(2010/10/28(Thu) 00:24:14)

■No42883に返信(BOOさんの記事)
> ■No42881に返信(みぎさんの記事)
> tokoroさん、御自分の言葉どおり引退しましょうよ。

？

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■42890 / inTopicNo.7)

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□投稿者/ みー一般人(15回)-(2010/10/28(Thu) 06:08:37)

たくさんのレスを
ありがとうございます!!

ですがまだ理解していく上で
疑問が溢れてきます(>_<)

「次に、Σ[k=1,n]Ｃkを求めるために、実数r(r≠1)についてS[n]=Σ[k=1,n]k・r^kを求めてみよう。」
の部分なのですが、なぜ
求めたいのかもわからないし
S[n] と Σ[k=1,n]k・r^k
がイコールで結ばれる意味がわかりません。

もう１つ、最後にした質問の続きなのですが、
Ｔn=(n-1)･2^(n+1)+2
なのに、
(n-1)･2(n-1)にＴn-1として
代入できることがよくわかりません。
Ｔn-1=(n-2)･2^n+2
ではないかと思ってしまいます。
また、右辺第２項のΣ[k=1,n]1 はnにしか
なりえない気がしてしまいます(>_<)
r=2という条件を持ち出してきている理由もわかりません。

質問がぐちゃぐちゃになってしまい申し訳ありません。

他の部分は解決することができました。
よろしくお願いいたします。

(携帯)

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■42891 / inTopicNo.8)

　Re[1]: 数列の問題

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□投稿者/ みぎ一般人(7回)-(2010/10/28(Thu) 08:10:04)

2010/10/28(Thu) 08:17:17 編集(投稿者)

>「次に、Σ[k=1,n]Ｃkを求めるために、実数r(r≠1)についてS[n]=Σ[k=1,n]k・r^kを求めてみよう。」
> の部分なのですが、なぜ
> 求めたいのかもわからないし

前にも述べたように、式の形が同じ（似ている）だからです。
$2$\sum (k - 1) \cdot 2^{(k - 1)}$ と $2$\sum k \cdot r^{k}$
それで一般的な形として、
$2$\sum k \cdot r^{k}$
の計算をして、一種の公式を前もって作るわけです。
すると、 $2$r$ の値を変えれば $2$r = 2$ 以外の問題にも使えます。（ただし $2$r \ne 1$ ）

> S[n] と Σ[k=1,n]k・r^k
> がイコールで結ばれる意味がわかりません。

これも前に述べたように、 $2$S_{n} = \sum k \cdot r^{k}$ と定義しているからです。
$2$A$ を $2$3$ とする、というのを $2$A = 3$ と書くのと同じです。

> もう１つ、最後にした質問の続きなのですが、
> Ｔn=(n-1)･2^(n+1)+2
> なのに、
> (n-1)･2(n-1)にＴn-1として
> 代入できることがよくわかりません。
> Ｔn-1=(n-2)･2^n+2
> ではないかと思ってしまいます。

みーさんは勘違いしていませんか？
式④は、
$2$T_{n} = \sum k \cdot 2^{k} = (n - 1) \cdot 2^{(n + 1)} + 2$
で、
$2$\sum C_{k}$ の計算でやっているのは、
$2$\sum (k - 1) \cdot 2^{(k - 1)}$
で、
これが $2$T_{n - 1}$ になることを確認しました。
ですから解答の下から３行目では、公式④ $2$T_{n}$ の $2$n$ を $2$(n - 1)$ にして、
$2$T_{n - 1} = (n - 2) \cdot 2^{n} + 2$
として代入しています。

> また、右辺第２項のΣ[k=1,n]1 はnにしか
> なりえない気がしてしまいます(>_<)

解答の方もここでの説明も、ちゃんと、
$2$\sum 1 = n$
になっています。
解答の方では、下から４行目で、
$2$= 3 T_{n - 1} + n$
となっている第２項目がそれです。

> r=2という条件を持ち出してきている理由もわかりません。

上でも述べているように、
$2$S_{n} = \sum k \cdot r^{k}$
で、 $2$r = 2$ に相当するのがこの問題だからです。

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■42892 / inTopicNo.9)

　Re[2]: re

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□投稿者/ miyup 大御所(1187回)-(2010/10/28(Thu) 08:14:42)

■No42890に返信(みーさんの記事)
基本的にマーク形式の解答は、他人の考え方に沿って進めていくものです。
その通りに進めていくと解けるようになっているので、
解答の流れに乗ることが大切です。

> 「次に、Σ[k=1,n]Ｃkを求めるために、実数r(r≠1)についてS[n]=Σ[k=1,n]k・r^kを求めてみよう。」
> の部分なのですが、なぜ求めたいのかもわからないし

簡単に言えば、それを使うことで問題が解けるようになっているからです。

> S[n] と Σ[k=1,n]k・r^k
> がイコールで結ばれる意味がわかりません。

その後の解答に頻繁に出てくるので、Σ[k=1,n]k・r^k を S[n] と置いただけです。
それ以上の意味はありません。

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■42897 / inTopicNo.10)

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□投稿者/ みー一般人(16回)-(2010/10/29(Fri) 05:00:00)

Ｔnは２通りの表し方(変形しただけ)をされていると
考えて大丈夫でしょうか?
Ｔn=Σ[k=1,n]k・r^k(r=2)
Ｔn=(n-1)･2^(n+1)+2
の、２通りです。

(携帯)

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■42899 / inTopicNo.11)

　Re[1]: 数列の問題

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□投稿者/ みぎ一般人(9回)-(2010/10/29(Fri) 08:08:20)

ええ、そう考えていいです。
計算すると、Σ[k=1,n]k・r^k(r=2) = =(n-1)･2^(n+1)+2 になるということです。
これは、一般的な公式、
$2$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k \cdot r^{k} = n r^{(n + 1)}/(r - 1) + \{ - r^{(n + 1)} + r \}/(r - 1)^2, \ (r \ne 1)$
で、 $2$r = 2$ の場合です。

$2$r = 3$ の場合を $2$U_n$ と書くとすると、
$2$U_n = \sum_{k = 1}^{n} k \cdot 3^{k} = \frac{(2 n - 1)}{4} 3^{(n + 1)} + \frac{3}{4}$
となります。
このように、一般的な公式が前もってあると便利です。

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■42905 / inTopicNo.12)

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□投稿者/ みー一般人(17回)-(2010/10/30(Sat) 03:49:27)

2010/10/30(Sat) 03:50:02 編集(投稿者)

そういうことだったんですね!!
理解できました。
まさか公式を作っていたとは
全く想像がつきませんでした(>_<)

ありがとうございました。

(携帯)

解決済み!

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