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　Re[1]: 数列の問題

□投稿者/ みぎ一般人(4回)-(2010/10/27(Wed) 18:31:35)

2010/10/27(Wed) 19:24:42 編集(投稿者)
2010/10/27(Wed) 18:59:04 編集(投稿者)

miyupさんのと実質同じです。

(1)
まず、
$2$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k r^{k} = r + 2 r^{2} + 3 r^{3} + 4 r^{4} + \cdots + n r^{n}$
です。
そして、
$2$S_{n + 1} = \sum_{k = 1}^{(n + 1)} k r^{k} = r + 2 r^{2} + 3 r^{3} + 4 r^{4} + \cdots + n r^{n} + (n + 1) r^{(n + 1)}$
なので、
$2$S_{n + 1} = S_{n} + (n + 1) r^{(n + 1)}$
となります。
ここで、 $2$S_{n}$ の式で $2$n = 1$ とすると、 $2$S_{1} = \sum_{k = 1}^{1} k r^{k} = 1 \cdot r = r$ となるので、
$2$S_{1} = r$ なので、何も不思議なところはありません。

(2)
解答の「代入する」という文章がむしろ余計でわかりにくくしているのかもしれませんが、これは単に先に示した、
$2$S_{n + 1} = \sum_{k = 1}^{(n + 1)} k r^{k} = r + 2 r^{2} + 3 r^{3} + 4 r^{4} + \cdots + n r^{n} + (n + 1) r^{(n + 1)}$
という式の、 $2$\sum$ という記号が $2$k = 1, \ 2, \ 3, \ \cdots$ として和をとることを言っているだけです。
すぐ上の式の、
$2$r + 2 r^{2} + 3 r^{3} + 4 r^{4} + \cdots + n r^{n} + (n + 1) r^{(n + 1)}$
の２項目から最後までが、解答で $2$\{ \ \ \ \ \}$ 内という部分です。
そしてこの $2$\{ \ \ \ \ \}$ の部分というのが、
$2$\{ \ \ \ \ \} = \sum_{k = 1}^{n} (k + 1) r^{(k + 1)}$
ということを解答の右端の注釈で説明しているわけです。

(3)
これは(1)から続いている、 $2$S_{n + 1} = \sum_{k = 1}^{(n + 1)} k r^{k} = S_{n} + (n + 1) r^{(n + 1)}$ の計算で、
$2$S_{n + 1} = r + \{ 2 r^{2} + 3 r^{3} + \cdots + (n + 1) r^{(n + 1)} \}$
のところの $2$\{ \ \ \ \ \}$ を、(2)で説明したように $2$\sum_{k = 1}^{n} (k + 1) r^{(k + 1)}$ に置き換えて、
$2$= r + \sum_{k = 1}^{n} (k + 1) r^{(k + 1)} = r + \sum_{k = 1}^{n} k r^{(k + 1)} + \sum_{k = 1}^{n} r^{(k + 1)}$ となります。
この最右辺第２項は、
$2$\sum_{k = 1}^{n} k r^{(k + 1)} = r \sum_{k = 1}^{n} k r^{k}$
となって、 $2$r$ をシグマの前に出すことができますが、その理由は $2$r$ 自身は $2$k$ に依存しないからです。

(4)
(3)の続きになりますが、
$2$\sum_{k = 1}^{n} k r^{(k + 1)} = r \sum_{k = 1}^{n} k r^{k} = r S_{n}$ となりますが、
その理由は(1)を見ればわかるように、
$2$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k r^{k}$
と定義しているからです。

(5)
問題の箇所は、 $2$\sum_{k = 1}^{n} C_{k}$ なので、この $2$C_{k}$ は解答①の最後の式
$2$C_{n} = 3 (n - 1) \cdot 2^{(n - 1)} + 1$
を見れば、そこから $2$3$ が来ているのがわかると思います。

(6)
この問題は、最初、数列 $2$\{ a_{n} \}$ を与えて、これから数列 $2$\{ b_{n} \}$ を定義し、さらに数列 $2$\{ C_{n} \}$ を定義して、
$2$\{ C_{n} \}$ の和、 $2$\sum_{k = 1}^{n} C_{k}$ を求めようとする問題です。

$2$\sum_{k = 1}^{n} C_{k} = \sum_{k = 1}^{n} \{ 3 (k - 1) \cdot 2^{(k - 1)} + 1 \} = 3 \sum (k - 1) \cdot 2^{(k - 1)} + \sum 1$
の式の右辺第１項に注目すると、これは、
$2$\sum k r^{k}$
という計算と同じ形をしているのに気づくはずです。
（ $2$r = 2$ の場合で、 $2$(k - 1)$ が $2$k$ になっていますが）
それでこの $2$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k r^{k}$ が、解答③の③式として、
$2$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k r^{k} = n r^{(n + 1)}/(r - 1) + \{ - r^{(n + 1)} + r \}/(r - 1)^2$
になると記されています。
この問題では $2$r = 2$ の場合なので、式③で $2$r = 2$ とすると式④、
$2$T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k \cdot 2^{k} = (n - 1) \cdot 2^{(n + 1)} + 2$
が得られます。
これを先の式に代入すると、
$2$\sum_{k = 1}^{n} C_{k} = 3 \sum_{k = 1}^{n} (k - 1) \cdot 2^{(k - 1)} + \sum_{k = 1}^{n} 1$
で、右辺第２項は $2$n$ となり、右辺第１項は $2$T_{n}$ を求める際の式で $2$k$ を $2$(k - 1)$ にしたのと同じです。
つまり、
$2$T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k \cdot 2^{k} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + \cdots + (n - 1) \cdot 2^{(n - 1)} + n \cdot 2^{n}$
であり、
$2$\sum_{k = 1}^{n} (k - 1) \cdot 2^{(k - 1)} = 0 \cdot 2^{0} + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + \cdots + (n - 1) \cdot 2^{(n - 1)}$
$2$= 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + \cdots + (n - 1) \cdot 2^{(n - 1)} = T_{n - 1}$
となるわけです。
つまり、 $2$n$ ではなく $2$(n - 1)$ までになるので。

以上が解答に沿った説明ですが、
最後の $2$T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k \cdot 2^{k}$ のとき、 $2$\sum_{k = 1}^{n} (k - 1) \cdot 2^{(k - 1)} = T_{n - 1}$ は、次のようにも示せます。
$2$(k - 1) = L$ とすると、 $2$k = (L + 1)$ であり、 $2$k = 1$ のとき $2$L = 0$ 、 $2$k = n$ のとき $2$L = (n - 1)$ です。
よって、
$2$\sum_{k = 1}^{n} (k - 1) \cdot 2^{(k - 1)} = \sum_{L = 0}^{(n - 1)} L \cdot 2^{L} = 0 \cdot 2^{0} + \sum_{L = 1}^{(n - 1)} L \cdot 2^{L}$
となるので、 $2$L = 0$ のときの先頭の項はゼロ、残りは、
$2$\sum_{L = 1}^{(n - 1)} L \cdot 2^{L} = \sum_{k = 1}^{(n - 1)} k \cdot 2^{k} = T_{n - 1}$
となります。
ここで、和をとるときの文字は、 $2$L$ でも $2$k$ でも、その他でもかまわないことに注意です。

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