 | 2010/10/10(Sun) 00:00:33 編集(投稿者)
■No42774に返信(yukkinさんの記事)
> xy平面上に直線L:ｍｘ−ｙ−ｍ＋３＝０がある。原点ＯをLについて対象移動させた点をＡとし、Ａを中心とし、半径２の円をＣとする。
> (1)直線ＯＡの方程式および点Ａの座標を求めよ。
m≠0 のときＯＡ：x+my＝0
ＯＡとLの交点は，(-m(3-m)/(1+m^2),(3-m)/(1+m^2)) となり
Ａ(-2m(3-m)/(1+m^2),2(3-m)/(1+m^2))
これは m＝0 のときも成り立つ。
> (2)Ａを通りLに平行な直線をL'とするとき、L'はｍの値にかかわらず定点を通ることを示せ。
L'：y-2(3-m)/(1+m^2)＝m{x+2m(3-m)/(1+m^2)} より
y-6＝m(x-2) となり，L'はｍの値にかかわらず定点(2,6)を通る。
> (3)ｍが実数全体を動くとき、Ａの軌跡を求めよ。
x＝-2m(3-m)/(1+m^2),y＝2(3-m)/(1+m^2) とおくと，x＝-my で
y＝2(3-m)/(1+m^2) に代入して，(x-1)^2+(y-3)^2＝10
ただし，Ａは円上の点(2,0)を通らない（L'は直線x＝2にならないので）。
すなわちＡの軌跡は，円(x-1)^2+(y-3)^2＝10 で点(2,0)を除く。
> (4)Ｃ上の点でＯから最も遠い点をＰとする。ｍが実数全体を動くとき、線分ＯＰの長さの最大値とその時のｍの値を求めよ。
(3)より，点Ａは直線Lが必ず通る定点Ｂ(1,3)を中心とし，
直線L'が必ず通る定点Ｑ(2,6)を通る半径√10の円周を描く
円Ｃは中心Ａ半径２の円で，Ｃ上の点でＯから最も遠い点Ｐについて
ＯＰ最大ならばＯＡ最大で，このときＡ＝Ｑである。
よって，ＯＰ＝ＯＡ+2＝2ＯＢ+2＝2√10+2 で
直線ＯＡは(2,6)を通るので，(1)より m＝-1/3。
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