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■42705 / inTopicNo.1)

　適当、任意の問題

□投稿者/ ゆう一般人(3回)-(2010/09/20(Mon) 18:38:34)

任意の実数 $2$y,z$ の組 $2$(y,z)$ について、それぞれ適当な実数 $2$x(0<x<1)$ をとると
$2$3x^2y-3x^2z+6xz-y-2z=0$ が成立することを証明せよ。

という問題について質問いたします。

解答の方針は、 $2$y,z$ についての1次の斉次式とみて文字を1つ減らした後、
$2$x$ についての方程式としての解答の記載があります。

私は、以下のようにやったのですが、これではだめでしょうか？
ダメな場合はどの部分がダメなのかを教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

問題文が
適当な実数 $2$x(0<x<1)$ ・・・なので
題意を満たす実数 $2$x(0<x<1)$ を1つ探すことに着目しました。

まず、与式を
$2$(3x^2-1)y-(3x^2-6x+2)z=0$
として
これが任意の $2$y,z$ について成り立つので、
$2$3x^2-1=0$ かつ $2$3x^2-6x+2=0$

⇔ $2$x=\frac{1}{\sqrt3},\frac{-1}{\sqrt3}$ かつ $2$x=1+\frac{1}{\sqrt3},1-\frac{1}{\sqrt3}$
となり

$2$x=\frac{1}{\sqrt3}$ と $2$x=1-\frac{1}{\sqrt3}$ より

それぞれの式から
$2$0<x<1$ を満たす $2$x$ が1つ存在する。

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■42706 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 適当、任意の問題

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□投稿者/ miyup 大御所(1172回)-(2010/09/20(Mon) 21:12:40)

■No42705に返信(ゆうさんの記事)
> これが任意の $2$y,z$ について成り立つので、
> $2$3x^2-1=0$ かつ $2$3x^2-6x+2=0$
>
> ⇔ $2$x=\frac{1}{\sqrt3},\frac{-1}{\sqrt3}$ かつ $2$x=1+\frac{1}{\sqrt3},1-\frac{1}{\sqrt3}$
> となり
>
> $2$x=\frac{1}{\sqrt3}$ と $2$x=1-\frac{1}{\sqrt3}$ より

両方の式を同時に満たすｘは存在しません。

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■42707 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 適当、任意の問題

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□投稿者/ tokoro 軍団(117回)-(2010/09/20(Mon) 21:46:53)

確かに両方の式を同時に満たす $2$x$ は存在しませんが、問題文の「それぞれ適当な実数 $2$x$ をとると」という言葉からすると、
$2$y, \ z$ のどちらか一方がゼロということを認めているのでしょうか？
それでいいのなら、
任意の $2$(y, \ z) = (0, \ z)$ に対して、 $2$x = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}$
任意の $2$(y, \ z) = (y, \ 0)$ に対して、 $2$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$2$(y, \ z) = (0, \ 0)$ に対して、無数の $2$x, \ (0 < x < 1)$
ともなりそうですが、これはダメなのですかね？

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■42709 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 適当、任意の問題

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□投稿者/ らすかる大御所(914回)-(2010/09/20(Mon) 22:02:21)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

> ダメな場合はどの部分がダメなのかを教えていただきたいです。

「それぞれ」は「(y,z)の組に対応して」という意味だと思います。
従って

> これが任意のy,zについて成り立つので、
> 3x^2-1=0 かつ 3x^2-6x+2=0

これは言えません。
「特定のxがあれば任意のy,zについて成り立つ」という意味ではありません。
「任意のy,zに対して適当なxをとれば式を成り立たせることができる」
という意味です。

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