数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 微分方程式 / Page: 0]

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■42468 / inTopicNo.1)

　微分方程式

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□投稿者/ ｌｐｐ一般人(1回)-(2010/08/21(Sat) 00:51:22)

y^2 + x^2dy/dx =xydy/dx　　ただし、　x =1のとき　y =1とする。

解説お願いします。

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■42473 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分方程式

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□投稿者/ tokoro 付き人(85回)-(2010/08/21(Sat) 09:23:01)

$2$y^2 + x^2 \frac{d y}{dx} = x y \frac{d y}{dx}$ は書き直すと、
$2$(x^2 - x y) \frac{d y}{dx} = - y^2$
なので、これは、
$2$\frac{d y}{dx} = \frac{- y^2}{x^2 - x y}$

$2$y = u x$ とすると、
$2$\frac{d y}{dx} = u + x \frac{d u}{dx} \ \ \ , \ \ \ \frac{- y^2}{x^2 - x y} = \frac{u^2}{u - 1}$
となります。
よって、
$2$u + x \frac{d u}{dx} = \frac{u^2}{u - 1} \ \ \ \to \ \ \ \Bigl ( 1 - \frac{1}{u} \Bigr ) du = \frac{1}{x} dx \ \ \ \to \ \ \ u - \ln u = \ln x + A$
となります。（ $2$A$ は積分定数）

これを元の $2$y$ を使って表すと、
$2$\frac{y}{x} - \ln \frac{y}{x} = \ln x + A \ \ \ \to \ \ \ \frac{y}{x} - \ln y = A$
となりますが、 $2$x = 1$ で $2$y = 1$ なので、 $2$A = 1$ となり、
$2$\frac{y}{x} - \ln y = 1$
と求まります。

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■42482 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 微分方程式

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□投稿者/ ななし一般人(6回)-(2010/08/22(Sun) 14:46:27)

y^2 + x^2dy/dx =xydy/dx
の両辺をx^2で割ったほうが分かりやすいかもしれませんね。

(y/x)^2+dy/dx=(y/x)dy/dx
ここでu=y/xとおいて、あとはtokoroさんと同じです。

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■42483 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 微分方程式

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□投稿者/ tokoro 付き人(89回)-(2010/08/22(Sun) 17:38:54)

そうですね。
$2$\frac{d y}{dx} = \frac{- y^2}{x^2 - x y} = \frac{- (y/x)^2}{1 - (y/x)}$
としておいてもよかったですね。

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