数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 数列の極限 / Page: 0]

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■42373 / inTopicNo.1)

　数列の極限

□投稿者/ ｓｋｙ一般人(1回)-(2010/08/13(Fri) 14:22:48)

数列{a[n]}は0<a[1]<3,a[n+1]=1+√（1+a[n]）(n=1,2,3....)を満たしている
(1)0<a[n]<3を証明せよ。
(2)3-a[n+1]<1/3(3-a[n])を証明せよ。
(3)数列{a[n]}の極限値を求めよ。

(1)(2)はできたのですが、(3)が解答見てもよくわかりません。
解答には
(1)(2)から　0<3-a[n]≦(1/3)^(n-1)(3-a[1])
と書いてあるのですが、なぜ1/3(3-a[n])が1/3)^(n-1)(3-a[1])になるのかわかりません
どなたか教えてください。

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■42374 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列の極限

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(1151回)-(2010/08/13(Fri) 14:51:00)

■No42373に返信(ｓｋｙさんの記事)
> (1)(2)から　0<3-a[n]≦(1/3)^(n-1)(3-a[1])
> と書いてあるのですが、なぜ1/3(3-a[n])が1/3)^(n-1)(3-a[1])になるのかわかりません

(2)3-a[n+1]<1/3(3-a[n])より
3-a[n]
<1/3・(3-a[n-1])
<(1/3)^2・(3-a[n-2])
<(1/3)^3・(3-a[n-3])
…
<(1/3)^(n-1)・(3-a[1])

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■42376 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数列の極限

▲▼■

□投稿者/ ｓｋｙ一般人(2回)-(2010/08/13(Fri) 19:11:11)

解説ありがとうございます。恐縮ですが、なぜ
1/3・(3-a[n-1])
　　　↓
(1/3)^2・(3-a[n-2])
が成立するのでしょうか？つまりa[n-1]がa[n-2]になったとき
なぜ1/3が(1/3)^2も成立するのでしょうか？なんどもすいません

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■42377 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 数列の極限

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(862回)-(2010/08/13(Fri) 19:26:00)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

3-a[n+1]＜(1/3)(3-a[n]) ですから
3-a[n-1]＜(1/3)(3-a[n-2]) で、
(1/3)(3-a[n-1])＜(1/3)^2(3-a[n-2]) です。

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