数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 解答・解説をお願いします / Page: 0]

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■42347 / inTopicNo.1)

　解答・解説をお願いします

□投稿者/ あい一般人(2回)-(2010/08/11(Wed) 15:08:48)

2010/08/11(Wed) 15:21:31 編集(投稿者)
2010/08/11(Wed) 15:21:29 編集(投稿者)
2010/08/11(Wed) 15:13:54 編集(投稿者)

整式(1+a+ab)10を展開したときのa9,b7の係数を求めよ。
(1+a+ab)10,a9,b7は、(1+a+ab)の10乗、aの9乗、bの7乗のことです。

分かりにくくて、すみません。

2000年の北海道情報大学の問題です

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■42353 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 解答・解説をお願いします

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□投稿者/ すっとこどっこい一般人(4回)-(2010/08/11(Wed) 18:43:17)

「 $2${{a}^{9}}$ の項と $2${{b}^{7}}$ の項の係数をそれぞれ求めよ。」ではなくて、
「 $2${{a}^{9}}{{b}^{7}}$ の項の係数を求めよ。」ということでよいのでしょうか?

整式 $2${{\left( a+b+c \right)}^{n}}$ を展開した式の一般項が
$2$\frac{n!}{p!\cdot q!\cdot r!}{{a}^{p}}{{b}^{q}}{{c}^{r}}$ (ただし、 $2$p$ , $2$q$ , $2$r$ は $2$0$ 以上の整数で、 $2$p+q+r=n$ )になることを用います。

整式 $2${{\left( 1+a+ab \right)}^{10}}$ を展開した式の一般項は
$2$\frac{\cdots !}{p!\times q!\times r!}\times {{1}^{p}}\times {{a}^{q}}\times {{\left( ab \right)}^{r}}=\frac{\cdots !}{p!\times q!\times r!}\times {{a}^{\cdots +\cdots }}\times {{b}^{\cdots }}$
(ただし、 $2$p$ , $2$q$ , $2$r$ は $2$0$ 以上の整数で、 $2$p+q+r=\cdots$ )となり、

一般項が $2${{a}^{9}}{{b}^{7}}$ の項となるのは、 $2$\left\{ \begin{align} & \cdots +\cdots =9 \\ & \cdots =7 \\ & p+q+r=\cdots \\ \end{align} \right.$ のとき、つまり、 $2$\left\{ \begin{align} & p=\cdots \\ & q=\cdots \\ & r=\cdots \\ \end{align} \right.$ のときで、

このとき、 $2${{a}^{9}}{{b}^{7}}$ の項は $2$\frac{\cdots !}{\cdots !\times \cdots !\times \cdots !}{{a}^{9}}{{b}^{7}}=\cdots {{a}^{9}}{{b}^{7}}$ となり、
整式 $2${{\left( 1+a+ab \right)}^{10}}$ を展開した式の $2${{a}^{9}}{{b}^{7}}$ の項の係数は $2$\cdots$ となる。

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■42372 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 解答・解説をお願いします

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□投稿者/ あい一般人(5回)-(2010/08/13(Fri) 12:51:32)

(1+a+ab)10の一般項がよく分かりません

＊(1+a+ab)10は、(1+a+ab)の10乗のことです

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■42375 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 解答・解説をお願いします

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□投稿者/ すっとこどっこい一般人(5回)-(2010/08/13(Fri) 15:07:50)

2010/08/13(Fri) 15:39:57 編集(投稿者)

(a＋b)^nを展開して同類項をまとめて得られる多項式の各項が、
いずれもnCr・a^(n－r)・b^r(ただし、rは0以上n以下の整数)の形で表すことができるので、
これを(a＋b)^nを展開した式の一般項といいます。

同様に、
(a＋b＋c)^nを展開して同類項をまとめて得られる多項式の各項が
いずれもn!／(p!・q!・r!)・a^p・b^q・c^r(p, q, rは0以上の整数で、p＋q＋r＝n)の形で表すことができるので、
これを(a＋b＋c)^nを展開した式の一般項といいます。

(a＋b＋c)^nを展開した式の一般項の導き方は、
tokoroさんがNo.42356の投稿の最初に説明されています。

本問では、
先の(a＋b＋c)^nを展開した式の一般項の説明について、
aを1に, bをaに, cをabに, nを10に置き換えて、

(1＋a＋ab)^10を展開して同類項をまとめて得られる多項式の各項が
いずれも10!／(p!・q!・r!)・1^p・a^q・(ab)^r＝10!／(p!・q!・r!)・a^(q＋r)・b^r
(p, q, rは0以上の整数で、p＋q＋r＝10)の形で表すことができるので、
(1＋a＋ab)^10を展開した式の一般項は
10!／(p!・q!・r!)・a^(q＋r)・b^r(p, q, rは0以上の整数で、p＋q＋r＝10)となります。

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