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　Re[1]: 二項定理

□投稿者/ tokoro 付き人(60回)-(2010/08/11(Wed) 21:10:44)

2010/08/12(Thu) 01:54:04 編集(投稿者)
2010/08/11(Wed) 21:14:46 編集(投稿者)

既に、すっとこどっこいさんが、42346と42347の回答で一般式とヒントを示してくれていますが、
３項の場合、
$2$(a + b + c)^{n} = \{ a + (b + c) \}^{n} = \sum {}_{n} C_{p} a^{p} (b + c)^{(n - p)} = \sum \sum {}_{n} C_{p} \times {}_{(n - p)} C_{q} a^{p} b^{q} c^{(n - p - q)}$
となりますが、
$2$p + q + r = n$
とすると、
$2$(a + b + c)^{n} = \sum \sum {}_{n} C_{p} \times {}_{(n - p)} C_{q} a^{p} b^{q} c^{r} = \sum \sum (n !)/\{ (p !) (q !) (r !) \} a^{p} b^{q} c^{r}$
と書けます。

２項の場合も同様に、 $2$p + q = n$ とすると、
$2$(a + b)^{n} = \sum {}_{n} C_{p} a^{p} b^{(n - p)} = \sum (n !)/\{ (p !) (q !) \} a^{p} b^{q}$
となります。

以上の２つの式を元に考えます。
(1)と(2)は既にmiyupさんも示してくれていますが、

(1)
$2$(a - 2 b)^{6} = \sum (6 !)/\{ (p !) (q !) \} a^{p} (- 2 b)^{q}$
となるので、
$2$a^{5} b$ の展開係数は、 $2$p = 5, \ q = 1$ より、
$2$(6 !)/\{ (5 !) (1 !) \} (- 2)^{1} = 6 \times (- 2) = - 12$
となります。

(2)
$2$(x + 2 y + 3 z)^{6} = \sum \sum (6 !)/\{ (p !) (q !) (r !) \} x^{p} (2 y)^{q} (3 z)^{r}$
となるので、
$2$x y^{2} z^{3}$ の展開係数は、 $2$p = 1, \ q = 2, \ r = 3$ より、
$2$(6 !)/\{ (1 !) (2 !) (3 !) \} 2^{2} 3^{3} = 6 \times 5 \times 2 \times 4 \times 27 = 6480$
となります。

(3)
$2$\Bigl ( x^2 - \frac{3}{x} \Bigr )^{7} = \sum (7 !)/\{ (p !) (q !) \} \Bigl ( x^{2} \Bigr )^{p} \Bigl ( \frac{- 3}{x} \Bigr )^{q} = \sum (7 !)/\{ (p !) (q !) \} x^{(2 p - q)} (- 3)^{q}$
となるので、
$2$x^{8}$ の展開係数は、 $2$p + q = 7, \ 2 p - q = 8$ より、
$2$p = 5, \ q = 2$
から、
$2$(7 !)/\{ (5 !) (2 !) \} (- 3)^{2} = 7 \times 3 \times 9 = 189$
となります。

(4)
$2$(x^2 + x + 1)^{6} = \sum \sum (6 !)/\{ (p !) (q !) (r !) \} (x^2)^{p} x^{q} 1^{r} = \sum \sum (6 !)/\{ (p !) (q !) (r !) \} x^{(2 p + q)}$
となるので、
$2$x^{2}$ の展開係数は、 $2$p + q + r = 6, \ 2 p + q = 2$ より、
$2$(p, \ q, \ r) = (0, \ 2, \ 4)$
$2$(p, \ q, \ r) = (1, \ 0, \ 5)$
$2$(p, \ q, \ r) = (2, \ - 2, \ 4)$ は、 $2$q$ が負のため不適。
$2$p \geq 2$ では、 $2$q < 0$ となるので除外され、先に求めた２ケースの和が解となります。
よって、
$2$(p, \ q, \ r) = (0, \ 2, \ 4)$ の場合、
$2$(6 !)/\{ (0 !) (2 !) (4 !) \} = 3 \times 5 = 15$
$2$(p, \ q, \ r) = (1, \ 0, \ 5)$ の場合、
$2$(6 !)/\{ (1 !) (0 !) (5 !) \} = 6$
となるので、これら２つの和、 $2$15 + 6 = 21$ が解となります。

42347は、一応示すと、
$2$(1 + a + a b)^{10} = \sum \sum (10 !)/\{ (p 1) (q !) (r !) \} 1^{p} a^{q} (a b)^{r} = \sum \sum (10 !)/\{ (p 1) (q !) (r !) \} a^{(q + r)} b^{r}$
となるので、
$2$a^{9} b^{7}$ の展開係数は、 $2$p + q + r = 10, \ q + r = 9, \ r = 7$ より、
$2$p = 1, \ q = 2, \ r = 7$
から、
$2$(10 !)/\{ (1 !) (2 !) (7 !) \} = 10 \times 9 \times 4 = 360$
となります。

42346は簡単な方なので、答だけ示すと、 $2$21$ となります。

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