数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 面積の比を求める問題です / Page: 0]

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■42168 / inTopicNo.1)

　面積の比を求める問題です

□投稿者/ さき一般人(1回)-(2010/07/16(Fri) 22:11:24)

「△ABCの各辺のBC,CA,ABの中点をそれぞれD,E,Fとする。QR=AD,RP=BE,PQ=CFなる△PQRを作ったとき、もとの三角形との面積の比△ABC:△PQRを求めよ。」という問題です。
ヘロンの公式から求めようと考えました。
△ABC=√{s(s-a)(s-b)(s-c)},s=(a+b+c)/2
CF=1/2・√(2a^2+2b^2-c^2)
BE=1/2・√(2a^2-b^2+2c^2)
AD=1/2・√(-a^2+2b^2+2c^2)
まで、求めましたがここから進めません。アドバイスの程お願いできればと思います。

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■42170 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 面積の比を求める問題です

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(1146回)-(2010/07/17(Sat) 08:29:18)

■No42168に返信(さきさんの記事)
> 「△ABCの各辺のBC,CA,ABの中点をそれぞれD,E,Fとする。QR=AD,RP=BE,PQ=CFなる△PQRを作ったとき、もとの三角形との面積の比△ABC:△PQRを求めよ。」という問題です。
> ヘロンの公式から求めようと考えました。
> △ABC=√{s(s-a)(s-b)(s-c)},s=(a+b+c)/2
> CF=1/2・√(2a^2+2b^2-c^2)
> BE=1/2・√(2a^2-b^2+2c^2)
> AD=1/2・√(-a^2+2b^2+2c^2)
> まで、求めましたがここから進めません。アドバイスの程お願いできればと思います。

実際に作図すれば簡単に比が分かります。
（△ABC ２つで平行四辺形を作りその中に△PQR を、平行線を利用して作図する）

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■42172 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 面積の比を求める問題です

▲▼■

□投稿者/ さき一般人(2回)-(2010/07/17(Sat) 17:59:22)

miyup様ありがとうございました。アドバイスいただいたように求めましたところ、△ABC:△PQR=4:5となりました。ありがとうございました。

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■42176 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 面積の比を求める問題です

▲▼■

□投稿者/ X 一般人(6回)-(2010/07/18(Sun) 08:22:24)

2010/07/18(Sun) 08:27:16 編集(投稿者)

横から失礼します。
>>さきさんへ
計算を間違えていませんか？。
miyupさんの方針通りだと、下の図のようになります。
この図で
△ABC,△PQR(ハッチングがしてある三角形です),平行四辺形ABCA'
,△ABD,△APA',△CPD
の面積をそれぞれS,T,W,s,t,uと置くと
S=(1/2)W
s=(1/4)W
t=(1/4)W
u=(1/8)W
よって
T=W-s-t-u=(3/8)W
ですので
△ABC:△PQR=S:T=(1/2)W:(3/8)W=4:3
となります。

611×369 => 250×150

1279408944.jpg/31KB

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