数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: aj，bkと2項係数との関係を調べよ。 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ4 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■42127 / inTopicNo.1)

　aj，bkと2項係数との関係を調べよ。

□投稿者/ 御手洗景子一般人(16回)-(2010/07/12(Mon) 13:46:31)
http://http//mixi.jp/show_friend.pl?id=8351678

tanのｍ倍角の公式を作ってみよ。
tan(ｍθ)=(Σ_(ｊ)aｊ[tanθ]^j)/(Σ_(ｋ)bk[tanθ]^k)
ここで現れたaj，bkと2項係数との関係を調べよ。

難しくて，どうやっていいのか分からないので，詳細に教えてもらえたらと思います。よろしくお願いします。式がわかりにくくてすいません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■42144 / inTopicNo.2)

　Re[1]: aj，bkと2項係数との関係を調べよ。

▲▼■

□投稿者/ tokoro 一般人(40回)-(2010/07/14(Wed) 06:40:00)

2010/07/14(Wed) 08:40:06 編集(投稿者)
2010/07/14(Wed) 08:34:32 編集(投稿者)

こういう問題は、いくつか比較的簡単に求められるものを、実際に求めてみることをお勧めします。
オイラーの公式を使った方法２の方が簡単です。

＜方法１＞

まず、 $2$\tan$ の加法公式は、次の通りです。
$2$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$

よって、２倍角の公式は、 $2$\alpha = \beta = \theta$ として、
$2$\tan 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan ^2 \theta}$

３倍角の場合、 $2$\alpha = 2 \theta, \ \beta = \theta$ として、
$2$\tan (2 \theta + \theta) = \frac{\tan 2 \theta + \tan \theta}{1 - \tan 2 \theta \cdot \tan \theta}$
となりますが、２倍角の結果を $2$\tan 2 \theta$ のところに代入して（ $2$\tan 2 \theta$ の分母の $2$1 - \tan ^2 \theta$ に注意）、
$2$\tan 3 \theta = \frac{2 \tan \theta + \tan \theta (1 - \tan ^2 \theta)}{(1 - \tan ^2 \theta) - 2 \tan \theta \cdot \tan \theta} = \frac{3 \tan \theta - \tan ^3 \theta}{1 - 3 \tan ^2 \theta}$

＜方法２＞

オイラーの公式 $2$e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ より、
指数関数の性質 $2$e^{\alpha + \beta} = e^{\alpha} \cdot e^{\beta}$ を使って考えます。

２倍角の場合、
$2$e^{i (2 \theta)} = e^{i \theta} \cdot e^{i \theta} = (\cos \theta + i \sin \theta)^2 = (\cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta) + i (2 \sin \theta \cos \theta)$
となりますが、実数部分は $2$\cos 2 \theta$ 、虚数部分は $2$\sin 2 \theta$ の加法公式を意味するので、 $2$\tan 2 \theta$ は、分子に虚数部分、分母に実数部分をあてると、
$2$\frac{(2 \sin \theta \cos \theta)}{(\cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta)} = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan ^2 \theta}$
となって、方法１の結果と同じものが得られます。

３倍角も同様に、
$2$e^{i (3 \theta)} = (\cos \theta + i \sin \theta)^3 = (\cos ^3 \theta - 3 \cos \theta \sin ^2 \theta) + i (3 \cos ^2 \theta \sin \theta - \sin ^3 \theta)$
となるので、先と同様に、分子に虚数部分、分母に実数部分をあてると、
$2$\frac{(3 \cos ^2 \theta \sin \theta - \sin ^3 \theta)}{(\cos ^3 \theta - 3 \cos \theta \sin ^2 \theta)} = \frac{(3 \tan \theta - \tan ^3 \theta)}{(1 - 3 \tan ^2 \theta)}$
となって、方法１の結果と同じものが得られます。

さて、問題は、一般のｍ倍角の加法公式と２項係数の関係を求めることです。
２項係数とは、
$2$(a + b)^n = \sum_{k = 0}^{n} {}_{n} C_{k} a^{(n - k)} b^{k} = a^{n} + n a^{(n - 1)} b + \frac{n (n - 1)}{2} a^{(n - 2)} b^{2} + \cdots + n a b^{(n - 1)} + b^{n}$
の $2${}_{n} C_{k}$ のことです。
以上で求めた３倍角までの公式で、 $2$\tan \theta$ のベキの前にかかっている係数が、この２項係数になるわけです。
これをもっとはっきりと示すには、オイラーの公式を使う方法を少し変形して、次のようにします。
$2$e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta = \cos \theta (1 + i \tan \theta)$
ここで、 $2$\tan \theta = x$ とおくと、５倍角まで、
$2$(1 + i x)^2 = (1 - x^2) + i (2 x)$
$2$(1 + i x)^3 = (1 - 3 x^2) + i (3 x - x^3)$
$2$(1 + i x)^4 = (1 - 6 x^2 + x^4) + i (4 x - 4 x^3)$
$2$(1 + i x)^5 = (1 - 10 x^2 + 5 x^4) + i (5 x - 10 x^3 + x^5)$
となります。
よって、一般のｍ倍角の加法公式は、
$2$(1 + i x)^{m} = \sum_{k = 0}^{m} {}_{m} C_{k} 1^{(m - k)} (i x)^{k} = \sum_{k = 0}^{m} {}_{m} C_{k} (i x)^{k} = Re \{ \sum_{k = 0}^{m} {}_{m} C_{k} (i x)^{k} \} + i \cdot Im \{ \sum_{k = 0}^{m} {}_{m} C_{k} (i x)^{k} \}$
より、
$2$\tan (m \theta) = \frac{\sum a_{j} (\tan \theta)^{j}}{\sum b_{k} (\tan \theta)^{k}} = \frac{Re \{ \sum_{k = 0}^{m} {}_{m} C_{k} (i x)^{k} \}}{Im \{ \sum_{k = 0}^{m} {}_{m} C_{k} (i x)^{k} \}} = \frac{Re \{ \sum_{j = 0}^{m} {}_{m} C_{j} (i)^{j} (\tan \theta)^{j} \}}{Im \{ \sum_{k = 0}^{m} {}_{m} C_{k} (i)^{k} (\tan \theta)^{k} \}}$
と表すことができます。
ここで、 $2$Re$ は実数部部を、 $2$Im$ は虚数部分をとることを意味します。
つまり、係数 $2$a_{j}$ は実数部分の２項係数、係数 $2$b_{k}$ は虚数部分の２項係数になります。
（正確には、さらに虚数単位 $2$i$ が偶数回・奇数回かけられての正負の符号を考慮したもの。上の式の関係の通り）

例えば２倍角の場合、
$2$(1 + i x)^2 = \sum_{k = 0}^{2} {}_{2} C_{k} (i x)^{k} = {}_{2} C_{0} (i x)^{0} + {}_{2} C_{1} (i x)^{1} + {}_{2} C_{2} (i x)^{2} = 1 + 2 (i x) + (- x^2)$
より、
$2$Re \{ (1 + i x)^2 \} = (1 - x^2), \ Im \{ (1 + i x)^2 \} = 2 x, \ \tan (2 \theta) = \frac{2 x}{1 - x^2} = \frac{2 \tan \theta}{1 - (\tan \theta)^2}$
となるわけです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■42160 / inTopicNo.3)

　Re[2]: aj，bkと2項係数との関係を調べよ。

▲▼■

□投稿者/ tokoro 一般人(42回)-(2010/07/15(Thu) 10:20:02)

> $2$\tan (m \theta) = \frac{\sum a_{j} (\tan \theta)^{j}}{\sum b_{k} (\tan \theta)^{k}} = \frac{Re \{ \sum_{k = 0}^{m} {}_{m} C_{k} (i x)^{k} \}}{Im \{ \sum_{k = 0}^{m} {}_{m} C_{k} (i x)^{k} \}} = \frac{Re \{ \sum_{j = 0}^{m} {}_{m} C_{j} (i)^{j} (\tan \theta)^{j} \}}{Im \{ \sum_{k = 0}^{m} {}_{m} C_{k} (i)^{k} (\tan \theta)^{k} \}}$

今気がつきましたが、訂正です。
$2$Re$ と $2$Im$ が逆になっていました。
正しくは、分子が虚数部分で分母が実数部分です。

$2$\tan (m \theta) = \frac{\sum a_{j} (\tan \theta)^{j}}{\sum b_{k} (\tan \theta)^{k}} = \frac{Im \{ \sum_{k = 0}^{m} {}_{m} C_{k} (i x)^{k} \}}{Re \{ \sum_{k = 0}^{m} {}_{m} C_{k} (i x)^{k} \}} = \frac{Im \{ \sum_{j = 0}^{m} {}_{m} C_{j} (i)^{j} (\tan \theta)^{j} \}}{Re \{ \sum_{k = 0}^{m} {}_{m} C_{k} (i)^{k} (\tan \theta)^{k} \}}$
と表すことができます。
ここで、 $2$Re$ は実数部部を、 $2$Im$ は虚数部分をとることを意味します。
つまり、係数 $2$a_{j}$ は虚数部分の２項係数、係数 $2$b_{k}$ は実数部分の２項係数になります。
（正確には、さらに虚数単位 $2$i$ が偶数回・奇数回かけられての正負の符号を考慮したもの。上の式の関係の通り）

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■42164 / inTopicNo.4)

　Re[3]: aj，bkと2項係数との関係を調べよ。

▲▼■

□投稿者/ 御手洗景子＠一般人(18回)-(2010/07/16(Fri) 08:46:15)
http://mixi.jp/show_friend.pl?id

重ね重ねありがとうございます。
詳細に途中経過から解説，解答までとても丁寧に書いてくれているので自分で調べるときにもわかりやすいです。
また，また，感謝しています。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター