数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 関係を調べてみること / Page: 0]

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■42123 / inTopicNo.1)

　関係を調べてみること

□投稿者/ 御手洗景子＠一般人(15回)-(2010/07/11(Sun) 23:44:26)
http://mixi.jp/show_friend.pl?id

F(t)=(1+t)^2/(1-t^2-t^3)=Σ(n=0～∞)(a_n)ｔ^nで(a_n)を定義する。
(a_n)の規則性を調べよ。
。

F(t)=(1+t)^2/(1-t^2-t^3)=Σ(n=0～∞)(a_n)ｔ^nで(a_n)を定義する。
(a_n)の規則性を調べよ。
また，下記の表を作って，(ａ_ｎ)/(a_(n＋1))と「F(t)の分母=0」との関係を調べてみよ。

ｎ　　(a_ｎ)　　 (a_(n+1)/a_n)
・　　　・　　　　　　・
・　　　・　　　　　　・
・　　　・　　　　　　・
・　　　・　　　　　　・

表を作って，(ａ_ｎ)/(a_(n＋1))と「F(t)の分母=0」との関係を調べてみることが分からないので教えてもらえませんか？

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■42126 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 関係を調べてみること

▲▼■

□投稿者/ tokoro 一般人(37回)-(2010/07/12(Mon) 09:02:52)

2010/07/12(Mon) 09:43:36 編集(投稿者)
2010/07/12(Mon) 09:41:32 編集(投稿者)
2010/07/12(Mon) 09:04:32 編集(投稿者)

これは関数 $2$F(t)$ のテイラー展開に関する問題だと思います。
定義に素直に従うと、
$2$F(t) = \frac{(1 + t)^2}{(1 - t^2 - t^3)} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} t^n = a_{0} + a_{1} t + a_{2} t^2 + a_{3} t^3 + \cdots + a_{n} t^n + a_{(n+1)} t^{(n + 1)} + \cdots$
と書けます。

ちょっと関数 $2$F(t)$ の具体的な形が難しいので、単純に $2$F(t)$ として右辺のベキ級数展開との関係を示すと、次のようになります。
$2$F(t) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} t^n = a_{0} + a_{1} t + a_{2} t^2 + a_{3} t^3 + \cdots + a_{n} t^{n} + a_{(n+1)} t^{(n + 1)} + \cdots$

ここで、 $2$t = 0$ としてみると、
$2$F(0) = a_{0}$
というのがわかります。

この $2$F(t)$ のベキ級数展開の式を $2$t$ で微分すると、
$2$F^{\prime}(t) = a_{1} + 2 a_{2} t + 3 a_{3} t^2 + \cdots + (n + 1) a_{(n+1)} t^{n} + \cdots$
となりますが、 $2$t = 0$ としてみると、
$2$F^{\prime}(0) = a_{1}$
というのがわかります。

さらに $2$t$ で微分すると（２階微分）、
$2$F^{\prime \prime}(t) = 2 a_{2} + 3 \cdot 2 a_{3} t + 4 \cdot 3 a_{4} t^2 + \cdots (n + 2) (n + 1) a__{(n + 2)} t^{n} + \cdots$
となりますが、 $2$t = 0$ としてみると、
$2$F^{\prime \prime}(0) = 2 a_{2}$
というのがわかります。

さらに $2$t$ で微分すると（３階微分）、
$2$F^{\prime \prime \prime}(t) = 3 \cdot 2 a_{3} + 4 \cdot 3 \cdot 2 a_{4} t + \cdots (n + 3) (n + 2) (n + 1) a__{(n + 3)} t^{n} + \cdots$
となりますが、 $2$t = 0$ としてみると、
$2$F^{\prime \prime \prime}(0) = 3 \cdot 2 a_{3}$
というのがわかります。

以上から、ｎ階微分を $2$F^{(n)}(t)$ と表すと、
$2$F^{(0)}(0) = a_{0} = F(0)$
$2$F^{(1)}(0) = 1 \cdot a_{1} = (1 !) \cdot a_{1}$
$2$F^{(2)}(0) = 2 \cdot a_{2} = (2 !) \cdot a_{2}$
$2$F^{(3)}(0) = 3 \cdot 2 \cdot a_{3} = (3 !) \cdot a_{3}$
$2$ \ \ \ \ \ \ \cdots$
$2$F^{(n)}(0) = (n !) \cdot a_{n}$
となり、一般に、
$2$a_{n} = F^{(n)}(0)/(n !)$
より、
$2$F(t) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} t^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \{ F^{(n)}(0)/(n !) \} t^{n}$
となるのがわかります。
これがテイラー展開（特に $2$t = 0$ としているのでマクローリン展開）です。

この問題でいう $2$a_{n}$ の規則性とは、 $2$a_{n} = F^{(n)}(0)/(n !)$ になると思います。

ここでは、 $2$F(t) = \frac{(1 + t)^2}{(1 - t^2 - t^3)}$ なので、
$2$F(0) = a_{0} = 1$
となります。
次に、
$2$F^{(1)}(t) = \frac{2 (1 + t)}{(1 - t^2 - t^3)} + \frac{(1 + t)^2 (2 t + 3 t^2)}{(1 - t^2 - t^3)^2}$ なので、
$2$F^{(1)}(0) = 2$
となります。
以後、同様に調べればいいと思います。
（微分すると項は増えますが、 $2$t = 0$ とすると、ほとんどの項はゼロになって消えます）

なお、 $2$F(t)$ の分母＝０とあるのですが、これは $2$F(t)$ が $2$\pm \infty$ に発散するところですね。
関数 $2$F(t)$ は、
$2$F(t) = \frac{(1 + 2 t + t^2)}{(1 - t^2 - t^3)} = \frac{t^2(1 + 2/t + 1/t^2)}{- t^3(1 + 1/t - 1/t^3)}$
となるので、近似的に、
$2$F(t) = - \frac{1}{t}$
のような形になるのがわかります。

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■42128 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 関係を調べてみること

▲▼■

□投稿者/ 御手洗景子一般人(17回)-(2010/07/12(Mon) 14:07:49)
http://http//mixi.jp/show_friend.pl?id

とても丁寧な解説・解答ありがとうございます。
一つ一つ調べながらやってみます。
本当に感謝しています。

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