| 2010/07/12(Mon) 09:43:36 編集(投稿者) 2010/07/12(Mon) 09:41:32 編集(投稿者) 2010/07/12(Mon) 09:04:32 編集(投稿者)
これは関数のテイラー展開に関する問題だと思います。 定義に素直に従うと、
と書けます。
ちょっと関数の具体的な形が難しいので、単純にとして右辺のベキ級数展開との関係を示すと、次のようになります。
ここで、としてみると、
というのがわかります。
こののベキ級数展開の式をで微分すると、
となりますが、としてみると、
というのがわかります。
さらにで微分すると(2階微分)、
となりますが、としてみると、
というのがわかります。
さらにで微分すると(3階微分)、
となりますが、としてみると、
というのがわかります。
以上から、n階微分をと表すと、
となり、一般に、
より、
となるのがわかります。 これがテイラー展開(特にとしているのでマクローリン展開)です。
この問題でいうの規則性とは、になると思います。
ここでは、なので、
となります。 次に、 なので、
となります。 以後、同様に調べればいいと思います。 (微分すると項は増えますが、とすると、ほとんどの項はゼロになって消えます)
なお、の分母=0とあるのですが、これはがに発散するところですね。 関数は、
となるので、近似的に、
のような形になるのがわかります。
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