数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 接線 / Page: 0]

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■42088 / inTopicNo.1)

　接線

□投稿者/ n 一般人(1回)-(2010/07/07(Wed) 16:30:16)

いつもお世話になっております。

2つの放物線 $2$y=x^2$ と $2$y=-x^2+ax-2$ が共有点をもち、その点における2つの放物線の
接線が一致するとき、定数 $2$a$ の値を求めよ。

という問題なのですが解き方が分からず困っています。
どなたか教えて頂けませんでしょうか。
宜しくお願いします。

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■42089 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 接線

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□投稿者/ tokoro 一般人(32回)-(2010/07/07(Wed) 18:29:54)

2010/07/07(Wed) 18:31:14 編集(投稿者)

２つの放物線を、
$2$f_{1}(x) = x^2 \ \ \ , \ \ \ f_{2}(x) = - x^2 + a x - 2$
とします。
この１次導関数は、
$2$f_{1}^{\prime}(x) = 2x \ \ \ , \ \ \ f_{2}^{\prime}(x) = - 2x + a$
です。

まず、２つの放物線が共有点を持つためには、 $2$x^2 = - x^2 + ax - 2$ から、 $2$2x^2 - ax + 2 = 0$
これが実数解を持つのは判別式から、 $2$a^2 - 16 = (a + 4)(a - 4) \geq 0$ となります。
しかし、図を描けば明らかなように、一点で２つの放物線が接する場合でないと、２つの放物線で共通の接線にはなりません。
したがって、 $2$a = \pm 4$ が解です。

以下、検算
(1) $2$a = 4$ の場合
$2$2x^2 - 4 x + 2 = 2(x - 1)^2 = 0$ より、 $2$x = 1$ が共有点の $2$x$ 座標になり、 $2$(x, \ y) = (1, \ 1)$ が共有点。
このとき、２つの放物線の接線の傾きは、
$2$f_{1}^{\prime}(1) = 2 \ \ \ , \ \ \ f_{2}^{\prime}(1) = - 2 + 4 = 2$
で共通であり、接線は、 $2$y - 1 = 2 (x - 1)$ から、 $2$y = 2 x - 1$

(2) $2$a = - 4$ の場合
$2$2x^2 + 4x + 2 = 2 (x + 1)^2 = 0$ より、 $2$x = - 1$ が共有点の $2$x$ 座標になり、 $2$(x, \ y) = (- 1, \ 1)$ が共有点。
このとき、
２つの放物線の接線の傾きは、
$2$f_{1}^{\prime}(- 1) = - 2 \ \ \ , \ \ \ f_{2}^{\prime}(- 1) = 2 - 4 = - 2$
で共通であり、接線は、 $2$y - 1 = - 2 (x + 1)$ から、 $2$y = - 2 x - 1$

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■42090 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 接線

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□投稿者/ miyup 大御所(1140回)-(2010/07/07(Wed) 18:46:06)

2010/07/07(Wed) 18:49:39 編集(投稿者)

■No42089に返信(tokoroさんの記事)
> ２つの放物線を、
> $2$f_{1}(x) = x^2 \ \ \ , \ \ \ f_{2}(x) = - x^2 + a x - 2$
> とします。
> この１次導関数は、
> $2$f_{1}^{\prime}(x) = 2x \ \ \ , \ \ \ f_{2}^{\prime}(x) = - 2x + a$
> です。

接点のx座標を $2$t$ とおいて
$2$f_{1}(t) = f_{2}(t)$ かつ $2$f_{1}^{\prime}(t) = f_{2}^{\prime}(t)$
として、連立方程式を解いてもよいですね。

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■42091 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 接線

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□投稿者/ n 一般人(2回)-(2010/07/07(Wed) 18:49:49)

とても分かりやすく教えて頂いて嬉しいです。
ありがとうございました。

解決済み!

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■42092 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 接線

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□投稿者/ tokoro 一般人(33回)-(2010/07/07(Wed) 19:12:20)

■No42090に返信(miyupさんの記事)
> 接点のx座標を $2$t$ とおいて
> $2$f_{1}(t) = f_{2}(t)$ かつ $2$f_{1}^{\prime}(t) = f_{2}^{\prime}(t)$
> として、連立方程式を解いてもよいですね。

$2$t^2 = - t^2 + a t - 2$ から、 $2$2 t^2 - a t + 2 = 0$
$2$2 t = - 2 t + a$ から、 $2$4 t = a$
この第２式を第１式に代入すると、
$2$2 \Bigl ( \frac{a}{4} \Bigr )^2 - a \Bigl ( \frac{a}{4} \Bigr ) + 2 = 0$ から、 $2$a = \pm 4$

なるほど、こちらの方が、直接簡単に求まりますね。

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