数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: おねがいします。 / Page: 0]

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■42061 / inTopicNo.1)

　おねがいします。

□投稿者/ bibun 一般人(3回)-(2010/07/02(Fri) 21:03:05)

すみません、また同じ問題です。

この問題の中でできるのだけでもやってくれるとありがたいです。
どうしても解けないです。過程もできましたらよろしくおねがいします。

1. ある一定の容積をもった直円柱の缶詰をつくのに、その側面と上下面の面積の和を(使う材料)を最小にしたい。底面の半径をrと高さhの比をどのようにすればよいか。

2.円形の紙から扇形を切り取って円錐状の容器をつくり、その容積を最大にしたい。切り取る扇形の中心角の大きさをいくらにすればよいか。

3.垂直な壁に立てかけた長さ5mの棒がある。この棒の下端を地面に沿うて毎秒50cmの速さで壁から遠ざけていく。棒の下端が3m壁から離れたときの，棒の上端が壁に沿ってずり落ちる速さを求めよ。

4.ある鉄球を熱したところ，体積がa%増した。このとき、半径と表面積は何％増すか。

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■42062 / inTopicNo.2)

　Re[1]: おねがいします。

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□投稿者/ すっとこどっこい一般人(1回)-(2010/07/03(Sat) 00:37:43)

2010/07/03(Sat) 00:38:20 編集(投稿者)

3の考え方だけ書いておきますので、頑張って下さい。

棒について、
下端が壁からx(m)(ただし、0≦x≦5)の距離にあり、
上端が地面からy(m)(ただし、0≦y≦5)の距離にあるとすると、
y＝…と表すことができ、　　←　…はxを使った式

問題文より、下端の移動速度は、dx／(dt)＝…(m/s)なので、　　←　単位に注意

上端の移動速度は、dy／(dt)＝{dy／(dx)}・{dx／(dt)}＝…・…＝…(m/s)となり、　　←　最後の…はxを使った式

x＝3(m)のとき、|dy／(dt)|＝…＝…(m/s)である。　　←　dy／(dt)＝…にx＝3を代入して絶対値をとる

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■42065 / inTopicNo.3)

　Re[2]: おねがいします。

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□投稿者/ bibun 一般人(4回)-(2010/07/03(Sat) 12:37:57)

3の問題ありがとうございます。

ほかの問題もできる方がいらっしゃいましたらよろしくおねがいします。

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■42067 / inTopicNo.4)

　Re[1]: おねがいします。

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□投稿者/ tokoro 一般人(26回)-(2010/07/03(Sat) 18:26:12)

2010/07/03(Sat) 18:27:37 編集(投稿者)

４もやってるけど、あれじゃダメということ？？？

一応、２も簡単に示しておきます。
円形の紙の一部の扇形を切り取って、それを立体的に丸めて円錐を作るわけですが、その紙の半径を $2$R$ とすると、当然のことながら、できあがった円錐の底面の半径は $2$R$ より小さくなります。（円錐の母線の長さが $2$R$ になります）
切り取る扇形の中心角を $2$\theta$ とすると、切り取る扇形の弧の長さは $2$R \theta$ となるので、円錐の底面の円周は、 $2$2 \pi R - R \theta = 2 \pi R \Bigl ( 1 - \frac{\theta}{2 \pi} \Bigr )$ となり、これから底面の半径が得られます。（ $2$\frac{\theta}{2 \pi}$ は $2$x$ など、別の記号に置き換えるといいです）
その底面の半径を $2$r$ とすると、円錐の高さ $2$h$ は、ピタゴラスの定理から、 $2$h = \sqrt{R^2 - r^2}$ となりますが、これは $2$x$ の関数になります。
円錐の体積 $2$V$ は、 $2$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ で与えられるので、 $2$r$ と $2$h$ が $2$x$ の関数であることから、 $2$V$ も $2$x$ の関数になります。
あとは $2$V$ を $2$x$ で微分して、それがゼロになるところの $2$x$ が答の候補になります。（ $2$0 < x < 1$ の条件が付きます）

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■42072 / inTopicNo.5)

　Re[2]: おねがいします。

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□投稿者/ bibun 一般人(5回)-(2010/07/03(Sat) 23:41:09)

ありがとうございます。

わかりやすい説明ありがとうございます。

４はあの後、どうすればいいのですか？

すみません。おねがいします。

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■42073 / inTopicNo.6)

　Re[1]: おねがいします。

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□投稿者/ tokoro 一般人(28回)-(2010/07/04(Sun) 08:00:16)

まず、半径が何％増加したか？ということですが、前の半径との差を求めて、それを前の半径で割って１００をかければいいです。
例えば、前の半径が１００で新しい半径が１２０の場合、差は１２０－１００＝２０です。
これを前の半径１００で割ると、２０/１００＝０．２です。
これに１００をかけると、０．２×１００＝２０です。
つまり、２０％増加です。
表面積の場合も考え方は同じです。

一応、１も簡単に示しておきます。
表面積 $2$S$ は、２つの円と長方形の和ですから、 $2$S = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h$ となります。
体積 $2$V$ は、 $2$V = \pi r^2 h$ ですが、この $2$V$ は一定なので、 $2$h = \frac{V}{\pi r^2}$ となります。
つまり、円柱の高さ $2$h$ は $2$r$ の関数になるので、 $2$S$ は $2$r$ だけの関数になります。
この $2$S$ を $2$r$ で微分して求めればいいのは、２の場合と同じです。

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■42075 / inTopicNo.7)

　Re[2]: おねがいします。

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□投稿者/ bibun 一般人(6回)-(2010/07/04(Sun) 15:02:02)

すみません１の問題ですが、微分したら０になるのですが、
そこからどうすればいいのですか？

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■42077 / inTopicNo.8)

　Re[1]: おねがいします。

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□投稿者/ tokoro 一般人(30回)-(2010/07/04(Sun) 16:13:47)

$2$S(r) = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi \Bigl ( r^2 + r \frac{V}{\pi r^2} \Bigr ) = 2 \pi \Bigl ( r^2 + \frac{V}{\pi r} \Bigr )$
ですから、これを $2$r$ で微分すると、
$2$\frac{d S}{dr} = 2 \pi \Bigl ( 2 r - \frac{V}{\pi r^2} \Bigr )$
となり、これがゼロになる $2$r$ は、かっこの中がゼロになればいいので、
$2$r = \Bigl ( \frac{V}{2 \pi} \Bigr )^{1/3}$
となります。
よって、この $2$r$ のときに円柱の表面積が最小になるのですが、円柱の高さ $2$h$ とは、 $2$h = \frac{V}{\pi r^2}$ の関係があるので、
$2$h = 2^{2/3} \Bigl ( \frac{V}{\pi} \Bigr )^{1/3}$ となります。
あとはこの $2$h$ と $2$r$ の比を求めればいいわけです。
上の計算は一度しかやってないので、もしかすると計算ミスがあるかもしれません。ただし、ご質問のように微分したらゼロになる、ということはありません）

なお、円柱の表面積が最小であることまできちんと確認するには、 $2$S$ の２次導関数まで求めて、そこに１次導関数がゼロになるときの $2$r$ の値を代入したとき、その値が正になればいいです。（最大になるときの問題の場合は、負になる）

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■42078 / inTopicNo.9)

　Re[2]: おねがいします。

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□投稿者/ ちなみに、一般人(1回)-(2010/07/04(Sun) 17:21:06)