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■4206 / inTopicNo.1) 　正五角形
  ▼■
□投稿者/ Qoo 一般人(1回)-(2005/09/23(Fri) 17:28:39)
    『正五角形を書いてそれぞれの頂点から対角線を引くと星形の図形ができる。
    　さらに、その星形の図形の中に小さな正五角形ができる。
    　そのとき、星形の図形の面積と小さな正五角形の面積比を求めよ。
    　（ただし、小さな正五角形の面積比を１として考える）　　　　　　　　』
    という問題です。
    どうか教えてください。。
    　
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■4216 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 正五角形
□投稿者/ tobira 一般人(1回)-(2005/09/24(Sat) 01:38:54)
    ■No4206に返信(Qooさんの記事)
    大小の正五角形の辺の比を求めてから、
    　(相似比)^2＝面積比　を利用して求められます。

    『正五角形を書いて頂点をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ
    　対角線ＢＥと、対角線ＡＣ，ＡＤとの交点をＦ，Ｇとします。』
    　　※ＦＧが星形の図形の中にできる正五角形の一辺となります。

    ＦＧ＝1、ＢＡ＝x として、
    正五角形対角線によってできる図形の性質等を考えると
    　ＢＡ＝ＢＧ＝ＥＡ＝ＥＦ＝x となり、
    　ＡＦ＝ＡＧ＝ＢＦ＝ＧＥ＝x−1　がいえます。

    △ＡＦＧ∽△ＢＡＧから、
    　ＡＦ：ＢＡ＝ＦＧ：ＡＧ　より、(x−1)：x＝1：x−1
    　　これを、x＞1　に注意して解くと、x＝{3＋√5}/2

    相似比　1：(3＋√5)/2　より
    　面積比　1：(7＋3√5)/2　{または 2：(7＋3√5) }
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■4218 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 正五角形
□投稿者/ Qoo 一般人(2回)-(2005/09/24(Sat) 07:09:04)
    ■No4216に返信(tobiraさんの記事)

    返信有り難うございます。
    確かに、大小正五角形の面積比はそうなるのだと思います。
    でも、問題は、小さい五角形FGHIJと星形の図形AIBJCFDGEH（もとの正五角形の中にできる）との面積比を求める
1119×756 => 250×168

page001.jpg/64KB
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■4236 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 正五角形
□投稿者/ tobira 一般人(2回)-(2005/09/25(Sun) 03:08:29)
    ■No4218に返信(Qooさんの記事)

    失礼いたしました。
    図をいただきましたので、それを使って、訂正します。

    (1)ＨＩ＝1、ＢＩ＝x として、
    　正五角形対角線によってできる図形の性質等を考えると
    　　ＢＩ＝ＡＩ＝ＡＨ＝x
    　　ＢＨ＝ＢＡ＝x＋1 となるので
    　△ＡＨＩＧ∽△ＢＨＡから、
    　　ＨＩ：ＨＡ＝ＡＨ：ＢＨ　より、1：x＝x：(x＋1)
    　　　これを、x＞０　に注意して解くと、x＝(1＋√5)/2
    　ここから、ＨＩ：ＢＩ＝2：(1＋√5)
    　△ＡＢＩ：△ＡＨＩ＝2：(1＋√5)

    (2)ひし形ＡＢＦＥに注目して
    　　△ＡＢＩ＝△ＡＥＨ
    　　△ＡＨＩ＝△ＢＪＩ＝△ＥＧＨ
    　で
    　　△ＡＢＥ＝2＊△ＡＢＩ＋△ＡＨＩ　
    　　△ＦＢＥ＝2＊△ＡＨＩ＋五角形ＦＧＨＩＪ
    　△ＡＢＥ＝△ＦＢＥより
    　　五角形ＦＧＨＩＪ＝2＊△ＡＢＩ−△ＡＨＩ

    (1)(2)より、面積の比を考えると
    　　五角形ＦＧＨＩＪ：△ＡＨＩ＝2√5：2＝√5：1
    　さらに、
    　　五角形ＦＧＨＩＪ：星形＝√5：5＋√5
    　よって、
    　　五角形ＦＧＨＩＪの面積を１としたときの
    　　　星形の面積の比は　1＋√5

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■4258 / inTopicNo.5) 　Re[4]: 正五角形
□投稿者/ Qoo 一般人(4回)-(2005/09/25(Sun) 20:00:58)

    > (1)(2)より、面積の比を考えると
    > 　　五角形ＦＧＨＩＪ：△ＡＨＩ＝2√5：2＝√5：1
    > 　さらに、
    > 　　五角形ＦＧＨＩＪ：星形＝√5：5＋√5
    > 　よって、
    > 　　五角形ＦＧＨＩＪの面積を１としたときの
    > 　　　星形の面積の比は　1＋√5
    >
    返信ありがとうございます。
    考えてみたのですが、この部分がわかりません。。。
    すみません。。。
    どうして
    > 　　五角形ＦＧＨＩＪ：△ＡＨＩ＝2√5：2＝√5：1
    がいえるのでしょうか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■4259 / inTopicNo.6) 　Re[5]: 正五角形
□投稿者/ tobira 一般人(3回)-(2005/09/25(Sun) 20:51:10)
    ■No4258に返信(Qooさんの記事)
    すみません。
    (1)の最後が逆でした
    　△ＡＢＩ：△ＡＨＩ＝(1＋√5)：2
    　　△ＡＢＩ＝(1＋√5)a　とすると
    　　△ＡＨＩ＝2a
    (2)から
    　　五角形ＦＧＨＩＪ＝2＊△ＡＢＩ−△ＡＨＩ
    　(1)の結果を代入すると
    　　五角形ＦＧＨＩＪ＝2(1＋√5)a−2a＝(2√5)a
    以上で
    　　五角形ＦＧＨＩＪ：△ＡＨＩ＝2√5：2＝√5：1
    さらに、
    　星形＝五角形ＦＧＨＩＪ＋5＊△ＡＨＩ　なので
    　　五角形ＦＧＨＩＪ：星形＝√5：5＋√5
    よって、
    　五角形ＦＧＨＩＪの面積を１としたときの
    　　星形の面積の比は　1＋√5
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■4264 / inTopicNo.7) 　Re[6]: 正五角形
□投稿者/ Qoo 一般人(5回)-(2005/09/25(Sun) 21:56:38)
    わかりました！
    ありがとうございました。
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