数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 長いですが，教えてください。 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ4 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■42038 / inTopicNo.1)

　長いですが，教えてください。

□投稿者/ 御手洗景子＠一般人(12回)-(2010/06/30(Wed) 23:45:09)
http://mixi.jp/show_friend.pl?id

1)a=［1 1 ］
＿＿［0 1 ］としたとき，a^nをいくつかのｎで計算して，一般のｎ（正負とも）について，その形を証明せよ。
(2)b=［1 1 1］
＿＿［0 1 1］
＿＿［0 0 1］としたとき，b^nをいくつかのｎで計算して，一般のｎ（正負とも）について，その形を証明せよ。
(3)c=［1 1 1 1］
＿＿［0 1 1 1］
＿＿[0 0 1 1］
＿＿［0 0 0 1］としたとき，c^nをいくつかのｎで計算して，一般のｎ（正負とも）について，その形を証明せよ。
(4)D=［cosφ -sinφ］
＿＿［sinφ cosφ］としたとき，D^nをいくつかのｎで計算して，一般のｎ（正負とも）について，その形を証明せよ。
(5)G=［cosθ sinθ］
＿＿［sinθ -cosθ］としたとき，G^nをいくつかのｎで計算して，一般のｎ（正負とも）について，その形を証明せよ。
(1)については，a^n=［1 ｎ］
＿＿＿＿＿＿＿＿［0 1 ］がわかり，数学的帰納法で，a^n+1のときも出したのですが，証明の書き方に自信がありません。
(2)については，b^2=［1 2 3 ］c^3=［1 3 6 ］
＿＿＿＿＿＿＿＿［0 1 2 ］＿＿［0 1 3]
＿＿＿＿＿＿＿＿［0 0 1 ］＿＿［0 0 1］という風に，b^4，ｂ^-1，b^-2，b^-3あたりを計算したのですが，規則性がどうしてもわかりません。
(3)についても，c^2=［1 2 3 4］c^3=［1 3 6 10］
＿＿＿＿＿＿＿＿［0 1 2 3］＿_［0 1 3 6］
＿＿＿＿＿＿＿＿［0 0 1 2］＿_［0 0 1 3］
＿＿＿＿＿＿＿＿［0 0 0 1］＿ _［0 0 0 3］という風に，c^4，c^-1，c^-2，c^-3あたりを計算したのですが，規則性がどうしてもわかりません。
(1)は，証明(数学的帰納法)の書き方を，(2)(3)については，一般のｎを，(4)(5)については，最初から教えてもらえませんか。よろしくお願いします。
(4)は，証明まで，なんとなくたどり着けるのですが，(5)の線対称移動を表す行列は，いくつかのｎについては，できても，証明がわからないので教えてください。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■42048 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 長いですが，教えてください。

▲▼■

□投稿者/ tokoro 一般人(22回)-(2010/07/01(Thu) 19:01:12)

2010/07/01(Thu) 19:02:45 編集(投稿者)

$2$n \geq 1$ の場合ならともかく、 $2$n$ が負の場合、 $2$n = -1$ は元の行列の逆行列を意味し、 $2$n = - 2$ などは、その逆行列を２回掛けたものになるのでしょうか？
また、 $2$n = 0$ の場合、どう扱うのか、ちょっとよくわかりません。（単位行列にする？）

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■42059 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 長いですが，教えてください。

▲▼■

□投稿者/ tokoro 一般人(24回)-(2010/07/02(Fri) 18:07:19)

2010/07/02(Fri) 20:14:25 編集(投稿者)

$2$n \leq 0$ の場合に関してお返事がありませんが、 $2$n \geq 1$ とすると、次のようになります。

(1)の帰納法による証明については、こんな感じでしょうか？（前もって $2$n = 2, \ 3$ ぐらいまで示しておくとなおよい）
$2$ a^{n} = \left ( \begin{array}{cc} 1 & n \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right )$
とするとき、
$2$ a^{n + 1} = a^{n} \cdot a = \left ( \begin{array}{cc} 1 & n \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right ) \left ( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{cc} 1 & (n + 1) \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right ) = a \cdot a^{n}$
が成り立つので、一般項（ $2$n \geq 1$ ）は、
$2$ a^{n} = \left ( \begin{array}{cc} 1 & n \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right )$
となる。

(2)については、
$2$ b^{2} = \left ( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right ) \ \ \ , \ \ \ b^{3} = \left ( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right ) \ \ \ , \ \ \ b^{4} = \left ( \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 10 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right )$
から、
$2$ b^{n} = \left ( \begin{array}{ccc} 1 & n & x(n) \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right )$
の形が予想できますが、 $2$(1, \ 3)$ 成分である $2$x(n)$ の規則性が、これだけではよくわかりません。
$2$x(n)$ を $2$n = 1$ から順に並べると、
$2$x(1) = 1, \ x(2) = 3, \ x(3) = 6, \ x(4) = 10, \ \cdots$
となりますが、数列 $2$x(n)$ の隣り合う項の差をとると、次のような階差数列 $2$y(n)$ が得られます。
$2$y(1) = 2, \ y(2) = 3, \ y(3) = 4, \ \cdots$
これは初項が $2$y(1) = 2$ で公差 $2$1$ の等差数列です。
つまり、 $2$y(k) = 2 + 1 \cdot (k - 1) = k + 1$ となります。
したがって、 $2$x(n) = x(1) + \sum_{k = 1}^{n - 1} y(k) = 1 + \sum_{k = 1}^{n - 1} (k + 1) = \frac{1}{2} n (n + 1)$ となります。
ここで、 $2$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n + 1)$ の公式を使います。

(3)については、
$2$ c^{2} = \left ( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right ) \ \ \ , \ \ \ c^{3} = \left ( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 6 & 10 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right ) \ \ \ , \ \ \ c^{4} = \left ( \begin{array}{cccc} 1 & 4 & 10 & 20 \\ 0 & 1 & 4 & 10 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right )$
から、
$2$ c^{n} = \left ( \begin{array}{cccc} 1 & n & A(n) & B(n) \\ 0 & 1 & n & A(n) \\ 0 & 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right )$
の形が予想できますが、 $2$A(n), \ B(n)$ の詳細が、これだけではよくわかりません。
先と同様に階差数列を考えると（ $2$B(n)$ の場合は２回、階差数列を求める）、
$2$A(n) = \frac{1}{2} n (n + 1)$ 　←（これは(2)の場合と同じ）
$2$B(n) = \frac{1}{6} n (n + 1) (n + 2)$
となります。
この $2$B(n)$ については、
第２階差数列 $2$z(k)$ が初項 $2$3$ 、公差 $2$1$ の等差数列であることから、 $2$z(k) = k + 2$ と書け、
第１階差数列 $2$y(k)$ は、 $2$y(k) = y(1) + \sum_{m = 1}^{k - 1} z(m) = 3 + \sum_{m = 1}^{k - 1} (m + 2) = \frac{1}{2} k^2 + \frac{3}{2} k + 1$ より、
$2$B(n) = B(1) + \sum_{k = 1}^{n - 1} y(k) = 1 + \sum_{k = 1}^{n - 1} y(k)$ として得られます。
ここで、 $2$\sum_{k = 1}^{n} k^2 = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$ の公式も使います。

(4)については、行列 $2$D(\phi )$ が $2$\phi$ という角度の回転を意味することを使えば、
$2$D^{n}$ は $2$n \phi$ という角度の回転を意味するので、
$2$D^{n} = \left ( \begin{array}{cc} \cos (n \phi ) & - \sin (n \phi ) \\ \sin (n \phi ) & \cos (n \phi ) \\ \end{array} \right )$
となります。
帰納法による証明も、三角関数の加法定理を知っていればわかると思います。
実際、 $2$n = 2$ の場合は、加法定理から $2$\phi + \phi = 2 \phi$ となることが、容易に確認できるはずです。

(5)については、
$2$G^{2}$ が単位行列になるので、 $2$G^{3}$ は $2$G$ となり、 $2$G^{4}$ は $2$G^{2}$ と同じで単位行列、以後、この繰り返しです。
つまり、 $2$n$ が偶数の場合は単位行列、 $2$n$ が奇数の場合は $2$G$ というように、 $2$n$ が偶数と奇数で分かれます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■42063 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 長いですが，教えてください。

▲▼■

□投稿者/ 御手洗景子＠一般人(13回)-(2010/07/03(Sat) 10:44:54)
http://mixi.jp/show_friend.pl?id

とても丁寧に教えてくださり，ありがとうございます。
何となく，わかっても，書き方などがわからないところもあったので，大変，参考になりました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター