| 2010/07/02(Fri) 20:14:25 編集(投稿者)
の場合に関してお返事がありませんが、とすると、次のようになります。
(1)の帰納法による証明については、こんな感じでしょうか?(前もってぐらいまで示しておくとなおよい)
とするとき、
が成り立つので、一般項()は、
となる。
(2)については、
から、
の形が予想できますが、成分であるの規則性が、これだけではよくわかりません。 をから順に並べると、
となりますが、数列の隣り合う項の差をとると、次のような階差数列が得られます。
これは初項がで公差の等差数列です。 つまり、となります。 したがって、となります。 ここで、の公式を使います。
(3)については、 から、
の形が予想できますが、の詳細が、これだけではよくわかりません。 先と同様に階差数列を考えると(の場合は2回、階差数列を求める)、 ←(これは(2)の場合と同じ)
となります。 このについては、 第2階差数列が初項、公差の等差数列であることから、と書け、 第1階差数列は、より、 として得られます。 ここで、の公式も使います。
(4)については、行列がという角度の回転を意味することを使えば、 はという角度の回転を意味するので、
となります。 帰納法による証明も、三角関数の加法定理を知っていればわかると思います。 実際、の場合は、加法定理からとなることが、容易に確認できるはずです。
(5)については、 が単位行列になるので、はとなり、はと同じで単位行列、以後、この繰り返しです。 つまり、が偶数の場合は単位行列、が奇数の場合はというように、が偶数と奇数で分かれます。
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