数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 大分大学医学部の過去問 / Page: 0]

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■41924 / inTopicNo.1)

　大分大学医学部の過去問

□投稿者/ miyup 大御所(1130回)-(2010/06/09(Wed) 20:48:57)

(1)は数学的帰納法でＯＫ
(2)は連立漸化式の一般項として a[n]-b[n]√c＝(1-√c)^n と
求めることができます。
(3)についても
a[n]+b[n]√c＝(1+√c)^n と(2)の結果から a[n], b[n] を求めて
lim[n→∞] a[n]/b[n]＝√c を直接計算できますが
(1)は一体何のためにあるのか不明です。
ただ単独で帰納法の問題として出題されたのか
(1)を利用して(3)が解けるようになっているのか
どなたかご教授願えればと思います。

4251×993 => 250×58

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■41925 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 大分大学医学部の過去問

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□投稿者/ 黄桃一般人(1回)-(2010/06/10(Thu) 01:30:57)

素直に誘導にのれば(3)は次のようになるのではないでしょうか。

b[n]≧r^(n-2)>0 より 1/b[n]≦(1/r)^(n-2) である。
これと a[n]-b[n]√c=(1-√c)^nより
|a[n]/b[n]-√c|=|(1-√c)^n/b[n]|≦|(1-√c)^n(1/r)^(n-2)|=r^2|((1-√c)/r)|^n ...(*)
となる。

さらに、
|(1-√c)/r|
=2(√c-1)/(1+√(4c+1))　　(c>1)
≦2(√c-1)/(1+√(4c))
=(2√c-2)/(2√c+1)
=1-3/(2√c+1)<1
だから、(*)でn→∞とすれば、lim[n→∞] a[n]/b[n]=√c を得る。

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■41926 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 大分大学医学部の過去問

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□投稿者/ miyup 大御所(1131回)-(2010/06/10(Thu) 07:58:26)

2010/06/10(Thu) 11:58:01 編集(投稿者)

■No41925に返信(黄桃さんの記事)
> 素直に誘導にのれば(3)は次のようになるのではないでしょうか。
>
> b[n]≧r^(n-2)>0 より 1/b[n]≦(1/r)^(n-2) である。
> これと a[n]-b[n]√c=(1-√c)^nより
> |a[n]/b[n]-√c|=|(1-√c)^n/b[n]|≦|(1-√c)^n(1/r)^(n-2)|=r^2|((1-√c)/r)|^n ...(*)
> となる。
>
> さらに、
> |(1-√c)/r|
> =2(√c-1)/(1+√(4c+1))　　(c>1)
> ≦2(√c-1)/(1+√(4c))
> =(2√c-2)/(2√c+1)
> =1-3/(2√c+1)<1
> だから、(*)でn→∞とすれば、lim[n→∞] a[n]/b[n]=√c を得る。

なるほど、1/b[n] として使うということですね。
a[n]-b[n]√c→0 ば_かり考えていたので
すなおに a[n]/b[n]-√c→0 とすればいいことに気づきませんでした。

勉強になります。ありがとうございました。

解決済み!

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■42057 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 大分大学医学部の過去問

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□投稿者/ 高２一般人(3回)-(2010/07/02(Fri) 14:23:07)

解答済みのところ、質問で申し訳ないです。

(1)は数学的帰納法とのことなのですが、私は帰納法でうまくいきませんでした。

よければ詳しく教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

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■42058 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 大分大学医学部の過去問

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□投稿者/ miyup 大御所(1139回)-(2010/07/02(Fri) 15:58:05)

■No42057に返信(高２さんの記事)
> 解答済みのところ、質問で申し訳ないです。
> (1)は数学的帰納法とのことなのですが、私は帰納法でうまくいきませんでした。

a[n+1]＝a[n]+c・b[n]、b[n+1]＝a[n]+b[n] のもとで

a[k]≧r^(k-1)、b[k]≧r^(k-2) が成り立つと仮定して
a[k+1]＝a[k]+c・b[k]≧r^(k-1)+c・r^(k-2)＝r^(k-2)・(r+c)
で、条件より r+c＝r^2 であるから
a[k+1]≧r^(k-2)・(r+c)＝r^k
また
b[k+1]＝a[k]+b[k]≧r^(k-1)+r^(k-2)≧r^(k-1)

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