数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 線形代数の証明問題 / Page: 0]

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■41893 / inTopicNo.1)

　線形代数の証明問題

□投稿者/ こん一般人(1回)-(2010/06/07(Mon) 12:43:06)

n次対称行列Aの固有値λ_1,λ_2,...,λ_nに対応する固有ベクトルをa_1,......,a_nと置く(λ_1>λ_2>...>λ_n>0)
固有ベクトルは||a||=1と正規化
ベクトルは全てn次元列ベクトル
ノルムは||X||=√(tX)Xとする
tは転置
以上の条件で、
||x||=1である全てのxに対する||Ax||の最大値はλ_1であることを示したいんですが、どのようにしたらいいでしょうか？？

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■41894 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 線形代数の証明問題

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□投稿者/ サボテン付き人(77回)-(2010/06/07(Mon) 14:17:41)

Aを実対称行列として回答します。

Aが実対称行列ならば、Aは直交行列によって対角化可能です。
直交行列をOとすると、

Ax=(tO)T(Ox)

TはAの対角表示だとします。

(Ox)=(x1,x2,・・・xn)
と置くと、
1)||x||=||(Ox)||より、∑x_i^2=1

2)Tは対角行列なので、T(Ox)=(λ_1x1,λ_2x2,・・・λ_nxn)

3)||Ax||=||(tO)T(Ox)||=||T(Ox)||

2)3)より、||Ax||=||T(Ox)||=√∑(λ_ix_i)^2≦|λ_1|√∑(x_i)^2
1)より|λ_1|√∑(x_i)^2=|λ_1|

以上から
||Ax||≦|λ_1|

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■41895 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 線形代数の証明問題

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□投稿者/ こん一般人(3回)-(2010/06/07(Mon) 15:14:49)

■No41894に返信(サボテンさんの記事)
> Aを実対称行列として回答します。
>
> Aが実対称行列ならば、Aは直交行列によって対角化可能です。
> 直交行列をOとすると、
>
> Ax=(tO)T(Ox)
>
> TはAの対角表示だとします。
>
> (Ox)=(x1,x2,・・・xn)
> と置くと、
> 1)||x||=||(Ox)||より、∑x_i^2=1
>
> 2)Tは対角行列なので、T(Ox)=(λ_1x1,λ_2x2,・・・λ_nxn)
>
> 3)||Ax||=||(tO)T(Ox)||=||T(Ox)||
>
> 2)3)より、||Ax||=||T(Ox)||=√∑(λ_ix_i)^2≦|λ_1|√∑(x_i)^2
> 1)より|λ_1|√∑(x_i)^2=|λ_1|
>
> 以上から
> ||Ax||≦|λ_1|

返信ありがとうございます
Ax=(tO)T(Ox)の部分についてですが、以下の方法でやると導出がうまくいきませんでした。導出を書いていただけませんでしょうか？
(tO)AO = T
AO = OT(左からOをかける)
Ax = OT(tOx)(右からtOxをかける)
となってしまいました。
また、3)の部分の導出もわかりません。。

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